有効電力、無効電力、力率について

有効電力、無効電力、力率の問題について
電圧V=V1+jV2、電流I=I1+jI2(V1,V2,I1,I2は実数）であるときP,Pr,力率を求めよ。
P=VIcosθより
P=(V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)cosθ
Pr=VIsinθより
Pr＝(V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)sinθ
力率cosθは
P/√(P^2+Pr^2)
ここで(V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)cosθ=A,(V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)sinθ=Bとして
(V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)cosθ/√((V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)cosθ)^2+((V1I1+j(V1I1+V2I2)-V2I2)sinθ)^2
=Acosθ/√(A^2cosθ^2+B^2sinθ^2)
力率はここまで来たのですが、この後からがよく分かりません。
有効電力、無効電力も自信ないのでおかしい箇所があれば解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 解説ありがとうございます。
  有効電力、無効電力のcosとかsinは無くてもいいのですか？
  そして、P=Re(VI)の計算結果(V1I1+j(V1I2+V2I1)-V2I2)のj(V1I2+V2I1)がどうして消えてるのか分かりません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/04/22 19:17

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/22 19:08

文脈から

有効電力、無効電力、力率 → P,Pr,力率らしい。
すると
P=Re(VI)=V₁I₁-V₂I₂
Pr=Im(VI)=V₁I₂+V₂I₁
cosθ=P/|VI|=P/√(P²+Pr²)=(V₁I₁-V₂I₂)/√{(V₁²+V₂²)(I₁²+I₂²)}

この回答へのお礼

式を展開してjが付いている方が無効電力、付いてない方が有効電力の答えになるということだったのですね。
解説ありがとうございました。。

お礼日時：2021/04/22 21:44

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/22 21:59

訂正

P=Re(VI*)=V₁I₁+V₂I₂
Pr=Im(VI*)=V₂I₁-V₁I₂
cosθ=P/|VI*|=P/√(P²+Pr²)=(V₁I₁+V₂I₂)/√{(V₁²+V₂²)(I₁²+I₂²)}
でした。

公式P=VIcosθの場合、上のV,Iを使うとP=|V||I|cosθ を意味します。
V,I,|V|,|I|を混乱してはいけない。


何故上のようになるかと言うと
V=ZI, Z=R+jX とすると
V₁+jV₂=(R+jX)(I₁+jI₂)=RI₁-XI₂+j(RI₂+XI₁)
V₁=RI₁-XI₂
V₂=RI₂+XI₁

P=Re(VI*)=V₁I₁+V₂I₂=(RI₁-XI₂)I₁+(RI₂+XI₁)I₂
　=RI₁²+RI₂²=R(I₁²+I₂²)=R|I|²

Pr=Im(VI*)=V₂I₁-V₁I₂=(RI₂+XI₁)I₁-(RI₁-XI₂)I₂=X(I₁²+I₂²)=X|I|²

cosθ=P/√(P²+Pr²)=R/√(R²+X²)

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/22 22:02

Re()、Im() は複素数の実数部、虚数部を取り出します。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/23 02:13

P=E×conj(I) conj()は複素共役

で
Re(P)が有効電力
Im(P)が無効電力
カ率=有効電力/(|E||I|)