数学です。至急回答願います！！ 2つの正の整数a,bについて ab＝pk （pは素数,kは自然数）と

数学です。至急回答願います！！
2つの正の整数a,bについて
ab＝pk （pは素数,kは自然数）とおける時、
aがpで割り切れる、またはbがpで割り切れる。
とありますが、よくわかりません。
教えてください！

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/25 17:59

なにが「よくわからない」んでしょうか.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/25 18:44

pは複数の1より大きい因数に因数分解出来ないのだから

pはaかbの素因数。

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/04/25 19:40

ab/p＝kでkは自然数だから、abはpで割り切れる。

pの約数は1と自分自身しか無いから、素因数分解出来ない。

でも約分出来てしまうのだから、aまたはbはpの倍数。
つまり、aまたはbはpで割り切れる。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/25 20:56

2つの正の整数a,bについて

ab=pk (pは素数,kは自然数)とおける時

aの素因数分解をa=Π_{j=1～m}a_j
bの素因数分解をb=Π_{k=1～n}b_k
とすると

ab=
(Π_{j=1～m}a_j)(Π_{k=1～n}b_k)=pk

素因数分解の一意性から
右辺の素因数pは
左辺の素因数
{a_j}_{j=1～m},{b_k}_{k=1～n}
のどれかとなるから

p=a_jとなるjがあるか又は
p=b_kとなるkがあるから

p=a_jとなるjがある時
p=a_jはaの素因数(約数)だから
aはpで割り切れる

p=b_kとなるkがある時
p=b_jはbの素因数(約数)だから
bはpで割り切れる