相反方程式の問題

相反方程式の問題の解き方を教えてください。「k を実数の定数とする。x の方程式 x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 = 0　……①とする。方程式①は k の値に関係のない解x=−1をもつ。この方程式が実数解をただ 1 つだけもつような k の値の範囲を求めよ。」

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/05/05 17:37

x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 ＝ 0

x＝－1はこの方程式の解であるから(x＋1)で割り切れて、
(x＋1){x^4＋(k－1)・x^3＋(2k＋1)・x^2＋(k－1)x＋1}＝0
と式変形できる。
そして、x^4＋(k－1)・x^3＋(2k＋1)・x^2＋(k－1)x＋1＝0 なる方程式が実数解を持たなければ良いことになるので、そちらを検討していく。
　　↓
ここがミソだと思う。もしくは、常にx^4＋(k－1)・x^3＋(2k＋1)・x^2＋(k－1)x＋1＞0となるようなkの条件を求めればいいことになる。

x＝0は方程式x^4＋(k－1)・x^3＋(2k＋1)・x^2＋(k－1)x＋1＝0を満たさないのでx≠0だから両辺をx^2で割って
x^2＋(k－1)x＋(2k＋1)＋(k－1)・(1/x)＋(1/x)^2＝0
x＋(1/x)＝tとおいて t^2＝x^2＋2＋(1/x)^2 より
f(t)＝x^2＋(k－1)x＋(2k＋1)＋(k－1)・(1/x)＋(1/x)^2
＝t^2－2＋(k-1)t＋(2k+1)
＝t^2＋(k-1)t＋(2k-1)

ところで、x＋(1/x)＝t の両辺にxをかけて
x^2－tx＋1＝0
判別式D＝t^2－4≧0
t≦－2、2≦t
つまり、xが実数であるならば、x＋1/xは-2以下、もしくは2以上の値を取る。
逆に言うと、－2＜t＜2の定義域でf(t)＝t^2＋(k-1)・t＋(2k－1)＝0となれば、そのようなtに対応する実数xは存在しないので、題意を満たすことになる。

(i)f(-2)＞0かつf(2)＜0
　これを解くと　k＜－1/4
(ii)f(-2)＜0かつf(2)＞0
　この条件を満たすkは存在しない。
(iii)f(-2)＞0かつf(2)＞0かつ放物線の軸である－2＜－(k-1)／2＜2かつ最小値である－{(k-1)／2}^2＋(2k-1)≦0
－2＜－(k-1)／2＜2 より、－3＜k＜5
－{(k-1)／2}^2＋(2k-1)≦0 より
k^2－10k＋5≧０
k≦5－2√5、5＋2√5≦k
2.2^2＝4.84、2.3^2＝5.29より、2.2＜√5＜2.3
故に、－3＜k≦5－2√5（≒0.6）

(i)、もしくは(iii)の条件のいずれかであればいいので、題意を満たすkの範囲は k＜－1/4 である。
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以上でよろしいかと思うのですが・・・。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/05 22:20

x^5+kx^4+3kx^3+3kx^2+kx+1=0

↓
(x+1)(x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1)=0
だから
方程式
x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1=0
が
実数解を持たなければよい

x=0の時
x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1=1>0だから
x≠0だから両辺をx^2で割って
x^2+(k-1)x+(2k+1)+(k-1)/x+1/x^2=0
x^2+1/x^2+(k-1)(x+1/x)+2k+1=0
(x+1/x)^2+(k-1)(x+1/x)+2k-1=0
x+1/x=tとすると
t^2+(k-1)t+2k-1=0

f(t)=t^2+(k-1)t+2k-1
とする
x+1/x=t
↓両辺にxをかけると
x^2+1=tx
x^2-tx+1=0
0≦(x-t/2)^2=(t^2-4)/4
t^2-4≧0
t≦-2.or.2≦t
だから
t≦-2.or.2≦t
での
最小値f(t)>0となればよい

f(-2)=4-2(k-1)+2k-1=5>0
f(2)=4+2(k-1)+2k-1=4k+1>0
だから
k>-1/4
でなければならない

f(t)=t^2+(k-1)t+2k-1
f(t)={t+(k-1)/2}^2+(-k^2+10k-5)/4

(i)f((k-1)/2)>0の場合

-k^2+10k-5>0
k^2-10k+5<0
5-2√5<k<5+2√5
↓-1/4<5-2√5だから
5-2√5<k<5+2√5

(ii)-2<(k-1)/2<2の場合
-3<k<5
↓k>-1/4だから
-1/4<k<5

(i)または(ii)の条件いずれかであればよいので

∴
-1/4<k<5+2√5