無理数を有理数で挟めるでしょうか？

aを1未満の正の無理数とします。

十分大きなすべてのｐ（あるPがあってｐ＞P を満たすすべてのｐ）に対して、ある正の整数ｑが存在して、
　　　　　ｑ/p < a < (q+1)/p
とできる。

この命題はあっているでしょうか？

No.8 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/07 19:36

すべての ｐ に対して、ある正の整数 ｑ が存在して、ｑ/p < a < (q+1)/p

ですよね。 q が p には依存することを示唆する文章だから、
q = [ap] でよいでしょう。
[ ] はガウス記号。 [x] で、x を越えない最大の整数を表します。

No.7 回答者： タムシバ 回答日時： 2021/05/07 19:27

命題はよくわかりませんが，以前読んだ数学の本に数の話が載っていて，数直線が切れ目なく続いているのは，無理数があるからだと説明がありました。

そして，何と有理数よりも圧倒的に無理数の方が多いことも。
なので，無理数を有理数で挟むことはできないが，逆は可能だと思います。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/07 15:42

0<a<1となるaを無理数とする

どんな大きなPに対しても
aP<nとなる整数nが存在する
p=n/a
とすると
P<n/a=p
n=apは整数だから
q<ap<q+1
となるような整数qは存在しない
ので
その命題は間違いです

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2021/05/07 07:32

qは固定できずpの関数になります。

そうでなければqに何を選んでもpが大きくなっていくとq/pも(q+1)/pも0に収束するのでダメでしょう。
逆にqをpの関数にして良いなら、どのpに対してもq=[pa]とすればq<pa<q+1になります。aが無理数としているのでq=paになってしまうことはありません。
# ここで[x]はxの整数部分

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2021/05/06 23:49

あってます。

十分大きな、でなく、すべての正の整数pについて（pに応じてqを選べば）いえます。
aは無理数だから、a=n/mとなる整数はありません。0<a<1 だから、0/p<a<p/p 。よって、どこかのq(0≦q<p)で、q/p<a<(q+1)/p となります。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/06 20:50

どれが p で、どれが q か よく分かりませんが、

1未満の 正の数に対して、無理数であるなしに拘わらず、
特定の p, q に対して q/p<a<(q+1)/p が成り立つのでは？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/06 19:09

P > 1/a を固定して, p > P に対して

a の p進法表記
を考える, かな.

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/06 17:41

q<pa<q+1　

一つの無理数paは一つのみのqとｑ+1の間にありますから、すべてのp について成り立つということはないですね。