数学の問題です。 y=(x^2)-2x+4 y=x/(x-1) この二つの定義域と値域がわかりません

数学の問題です。
y=(x^2)-2x+4
y=x/(x-1)
この二つの定義域と値域がわかりません、教えてくださいお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/05/07 12:52

上

定義域=-∞～+∞
値域=3～+∞
y=(x-1)²+3：x=1の時最小値3、それ以外では3より大きい

下
y=1+1/(x-1)：x=1の場合は未定義。
後は自分で考える

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/07 13:05

まず後者から

分母=0というのは数学では定義されない
ゆえに分母＝０となるx=1は定義域から外れる
よって,y=x/(x-1)の定義域はx≠０（もしくは　x<0,0<x)
また　地域はグラフをかけばわかる(グラフは直角双曲線）
公式的には
分数関数：y={k/(x-p)}+qの漸近線はｘ＝ｐ、y=q
これが基礎知識
(今回は分子=x=(x-1)+1だから
y=x/(x-1)⇔y={(x-1)/(x-1)}+1/(x-1)
⇔y=1/(x-1)+1
なんでp=1,q=１)
ｘ、ｙとも漸近線の値は取らないので
x=１は取らない
y=1はとらない
つまり　x=1は定義域ではない
y=1は値域ではない(値域はy≠1）
となる

で、前者は分母の縛りがないので定義域の縛りはない
つまり　定義域はすべての実数
値域は2次関数のグラフを書けばわかること
頂点から上側にどこまでもグラフが伸びていることが分かるので
値域は　2次関数グラフの頂点のy座標<y

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/07 15:07

2つの式は 連立では無く それぞれ別の式ですね。

y=x²-2x+4 これの x の領域は -∞<x<+∞ （つまり 領域ナシ）。
x²-2x+4=(x-1)²+3 ですから 値域は 3≦ｙ。
グラフに書くと 下に凸な 頂点が (1, 3) の放物線になります。

y=x/(x-1) 分母は 0 になれませんから，領域は x≠1 の全部。
y=1 とすると x=x-1 となって 式が成り立ちませんから、
値域 も y≠1 の全部。
グラフに書くと 漸近線が x=1, y=1 の双曲線になります。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/07 15:53

定義域は定義するから定義域なんで、定義が必要。

「自然な定義域」が定義ならそれでも良いが、
複素数とか実数とかの前提は必要。
複素数だと値域は面倒そう。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/07 19:38

数式を見て関数の定義域を読み取れ

ということ自体が荒唐無稽なのです。
関数とは、まず定義域があって、定義域の各元に対して
対応する値を与えることで定義されるものです。

例えば、y=2x+1 という式に従う関数を考える場合、
全実数 x に対して定義された 2x+1 も
x > 0 で定義された 2x+1 も
1 < x < 2 で定義された 2x+1 も
どれも同等の資格を持ったそれぞれ別個の関数です。
どちらが偉いということもありません。
2x+1 という式が関数なのではなく、
「1 < x < 2 で定義された 2x+1」などが関数なのです。
だから、2x+1 を見てそこから定義域を当てろという
問題は意味を成しません。出題が数学的に間違っているとしか。

質問は、授業で出た問題か何かですか？
そんな問題を出す先生は、そもそも関数とは何であるか
を理解していません。そういう人にものを習うと、
馬鹿がうつりますよ。朱に交わると赤くなるといいます。

y = x/(x-1) については、定義域が x = 1 を含まない
ことだけは判ります。x = 1 を含んでさえいなければ、
定義域は x > 1 でも x ≧ 2 でも 5 < x < 2021 でも
どれでもよいのです。