渦巻き螺旋を座標軸にしたような数学はあるのですか？

タイトルどおりなのですが、曲座標の周期性の代わりに無限に増加していくような形の数学というのは可能なのかなと想像しました。

No.3 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/02/27 01:24

渦巻きとは少し違うかもしれませんが、複素平面で

　z → w = (L/2π)log(z)
という変換を考えると、z=0 が分岐点で、対数関数のリーマン面はN02の方が書かれているように螺旋階段のようなイメージになります。この座標はメリットがないどころではありません。というのはこの変換はconformal mapping という非常に重要な写像の一例になっているからなのです。conformal mapping はスケールは変えるが角度は不変に保つ変換です。log(z)のような解析関数で変換するとwの実部と虚部はコーシー・リーマンの方程式を満たし、電磁気学や流体力学の問題を解くために昔から用いられてきました。またconformal mapping はリーマンの写像定理などの良い性質を持っており、複素関数論でも重要です。しかしconformal mapping は最近、数学においても物理においても新たな展開を見せ、非常に重要なものになってきています。Theory of everything になる(かもしれない)理論として超弦理論が注目されていますが、conformal 不変性は弦理論の重要な性質として研究されてきました。一方、1984年にBelavin,Polyakov, Zamolodchikovがconformal mapping で不変な場の理論を臨界現象の基礎として定式化しました。相転移の臨界点では相関距離が無現大になるためスケール不変性が現れます。conformal mapping により臨界現象の理論は大きな進歩を遂げました。一方、弦理論ではAdS/CFT対応(Anti de Siter/conformal field theory correspondense)が最も注目されるトピックスの一つになっています。そこまで行くと話が広がり過ぎるので元の
　z → w = (L/2π)log(z)
に戻ります。この変換で共形場理論のパラメーターを量子系の有限サイズスペクトルに結びつけることができます。z平面でのスケール変換は長さLの１次元量子系の時間発展に対応し、z平面での円周に沿った回転はは１次元量子系の並進に対応します。そのためエネルギーや運動量のスペクトルから共形場理論のセントラルチャージや共形次元を求めることができます。このような手法を有限サイズスケーリングと呼び、臨界現象の研究で重要なものになっています。参考書を一つ挙げると
　川上則雄、梁成吉「共形場理論と１次元電子系」（岩波書店）
等があります。

この回答へのお礼

猫に小判のご教示ですが，小判も大切なものらしいというのは，猫にも想像できます。いつものことながら、シッテル海を漂流している和歌蘭丸の船頭のような気分でいます。知的な大波に翻弄されることは，怠惰な私には大変ありがたい体験です。いろいろありがとうございます。

お礼日時：2005/02/28 11:07

No.2 回答者： SIRAKI 回答日時： 2005/02/25 13:34

螺旋の座標軸とは、実際にはどういうものになるのかは考えにくいのですが,点と座標が1対1になるようにも思えません。

一方,複素解析学にリーマン面というものがあったような気がします。
これも角度の周期性を区別できるようにするために用いられていると思います
つまり、螺旋の座標軸は何周期目かということを示す代わりに角度を[0,2π)の範囲に限定してz座標を用いるのだと思えてきました。

この回答へのお礼

まっすぐでないものをまっすぐとしたらどうだろうとか考えていたのだと思います。初歩的なイメージで何かわかればと思いました。ご教示有難うございました。

お礼日時：2005/02/28 09:30

No.1 回答者： masudaya 回答日時： 2005/02/25 13:10

どんなことがしたいのかよくわかりませんが・・・

座標系として,機能していれば,考えることは可能でしょう.ただメリットがないと誰も使いませんよ.

座標系の機能とは,座標系内にあるすべての点を一意に指し示すことができる.(直交座標も極座標－角度に制限を加えれば－も座標系内の各点を一意に示せます.)

この回答へのお礼

グラフと関数の関係から，何かつかめるものがないかなと思ったのですが・・・。ご教示有難うございました。

お礼日時：2005/02/28 09:25