積分について質問です。 写真の赤線の積分区間の変換はなぜできるのでしょうか？ 積分区間を半分にして2

積分について質問です。

写真の赤線の積分区間の変換はなぜできるのでしょうか？
積分区間を半分にして2倍にすることは偶関数しかできないと思うのですが、なぜ奇関数で同じことをしているのでしょうか？
誤植ですかね？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/15 08:37

∫[-π/2,π/2] ( 1 - √(sin²θ) )dθ

= ∫[-π/2,π/2] ( 1 - ｜sinθ｜ )dθ
= 2∫[0,π/2] ( 1 - ｜sinθ｜ )dθ
= 2∫[0,π/2] ( 1 - sinθ )dθ
これの１行目と４行目が写真の赤線部です。
偶関数だから云々の操作は２行目から３行目へで行われていて、
この時点では、sin に絶対値がついているから
被積分関数は偶関数なんです。
その操作が終わってから、新しい積分区間が [0,π/2] である
ことを利用して、絶対値記号を外しています。
4行目だけを見ると、偶関数じゃないように見えるけれども。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/15 10:15

赤い線の1つめの式にある被積分関数は偶関数。

一般に、tが実数のとき
　　√(t²) = |t|
ですね。ご質問の場合にはたまたま t=sinθである、というだけ。（ま、グラフを描けば納得いくでしょう。）

　言い換えれば、赤い線の1つめの式と2つめの式の間には
　　∫[-π/2≦θ≦π/2] (1 - |sinθ|) dθ
という式が省略されている。（(1 - |sinθ|)が偶関数なのはわかりますよね？）そして、赤い線の2つめの式で絶対値の記号が消えているのは、
　　0≦θ≦π/2 ならば sinθ = |sinθ|
だからです。