式と証明の二項定理が理解できない。 主に(2x-y)^6 【x^2y^4】の途中過程が理解できません

式と証明の二項定理が理解できない。

主に(2x-y)^6 【x^2y^4】の途中過程が理解できません…。
-1が突如現れる理由と、2xのxが消えてyの方に消えているのが謎で困っています。

出来ればわざわざこのように分けて考える理由も教えていただけるとありがたいです…。泣

質問者からの補足コメント

• 読みにくいのですが、赤の文字でなんでここにX…？と書いてます。

    補足日時：2021/06/28 21:58

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/29 10:28

式変形で

　(2x)^(6 - r)
　　↓
　2^(6 -r) と x^(6 - r)

に分けて、そして

　(-y)^r
　　↓
　(-1)^r と y^r

に分けて、それぞれ

・数字の係数「2^(6 -r)」と「(-1)^r」を前の方へ
・文字の係数「x^(6 - r)」と「y^r」を後ろの方へ

寄せて書いただけです。

それを書いた人は「分かりやすく、読みやすく」するためにそうしたんでしょうが、その意味が読者に通じないと著者もへこみますね、きっと。

二項定理は、下記のような「パスカルの三角形」を使うと分かりやすいですよ。
↓
https://study-line.com/nikoteiri-pascal/
https://manapedia.jp/text/2684

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/29 10:31

No.3 です。

あれ、ちょっとコピペの修正ミスがあった。

（誤）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

に分けて、それぞれ

・数字の係数「2^(6 -r)」と「(-1)^r」を前の方へ
・文字の係数「x^(6 - r)」と「y^r」を後ろの方へ

寄せて書いただけです。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

↓

（正）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

に分けて、それぞれ

・数字の係数「2^(6 -r)」と「(-1)^r」を前の方へ
・文字の項「x^(6 - r)」と「y^r」を後ろの方へ　　　←これは「係数」ではなく「項」

寄せて書いただけです。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/29 00:37

(2x-y)^6 【x^2y^4】

ってのは、何のことなの？
(2x-y)^6 を展開したときの (x^2)(y^4) の係数
って意味なら、そう書かないと、何言ってんのか判らないよ？
数学の妖精に愛されない人は、たいていそういう言い方書き方をする。
空気読みに慣れている私は、無理筋の質問にも回答するのだけれど...

写真の解答では、いわゆる「二項定理」を使っている。
(a+b)^n = Σ[k=0..n] (nCk)(a^k)b^(n-k) ってやつ。
問題の式に合わせて a = 2x, b = -y, n = 6 とすると、
(2x-y)^6 = (6C0)((2x)^0)((-y)^6)
　　　　　+ (6C1)((2x)^1)((-y)^5)
　　　　　+ (6C2)((2x)^2)((-y)^4)
　　　　　+ (6C3)((2x)^3)((-y)^3)
　　　　　+ (6C4)((2x)^4)((-y)^2)
　　　　　+ (6C5)((2x)^5)((-y)^1)
　　　　　+ (6C6)((2x)^6)((-y)^0)
　　　　= (6C0)(2^0)(x^0)((-1)^6)(y^6)
　　　　　+ (6C1)(2^1)(x^1)((-1)^5)(y^5)
　　　　　+ (6C2)(2^2)(x^2)((-1)^4)(y^4)
　　　　　+ (6C3)(2^3)(x^3)((-1)^3)(y^3)
　　　　　+ (6C4)(2^4)(x^4)((-1)^2)(y^2)
　　　　　+ (6C5)(2^5)(x^5)((-1)^1)(y^1)
　　　　　+ (6C6)(2^6)(x^6)((-1)^0)(y^0).
この中で (x^2)(y^4) の項は (6C2)(2^2)(x^2)((-1)^4)(y^4) で、
その係数は (6C2)(2^2)(-1)^4.

これを見れば解るように、質問の -1 は
2x-y の中での y の係数 -1 から生じている。

(6C2)(2^2)(x^2)((-1)^4)(y^4) と
(6C2)(2^2)((-1)^4)(x^2)(y^4) は、
掛け算の順序を変えただけだから、同じ式。
x の位置を気にしてもしかたがない。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/28 23:09

「2xのx」はx^(6-r)にちゃんとあります。

消えてなんかいません。要は

(2x)^(6-r)=2^(6-r)･x^(6-r)

と言う具合に見やすく分けただけです。もう一つの疑問の方も

(-y)^r=(-1･y)^r=(-1)^r･y^r

と書き直しただけです。突如現れたわけでも何でもなく、元々書かれてあったものです。