∫(1→2)(x^2+1)^2の積分を教えてください

合成関数なので、[1/3(x^2+1)^3*1/2x]とすると109/12となりますが、
展開してから計算すると、1/5x^5+2/3x^3+xで、178/15となります。
何か勘違いしてしまっていると思うのですが、回答をお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/04 22:36

∫[1→2] (x^2+1)^2 dx

= ∫[1→2] (x^4 + 2x^2 + 1)dx
= [ (1/5)x^5 + (2/3)x^3 + x ]_(1→2)
= 178/15
が正解。

その「合成関数の微分」は、公式が間違っている。
∫f’(x^2+1) (2x) dx = f(x^2+1) にはなるが、
∫f’(x^2+1)^2 dx = f(x^2+1)/(2x) にはならない。
左辺の ∫…dx をかい潜って 2x が出入りできないことに気をつけよう。

この回答へのお礼

ありがとうございました。理解しました。

お礼日時：2021/07/04 22:47

No.4 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2021/07/04 22:16

そもそも、[1/3(x^2+1)^3*1/2x]が積分したものなら、

これを微分したらもとに戻ると思うのだけど、戻る？

この回答へのお礼

確かに戻らないですね。

お礼日時：2021/07/04 22:39

No.3 回答者： -razuru- 回答日時： 2021/07/04 21:59

酔っ払ってるからちょい待って

No.2 回答者： -razuru- 回答日時： 2021/07/04 21:58

その合成関数は無理があるよ

この回答へのお礼

そうですね。ちょっと無理やりな気がしています。

お礼日時：2021/07/04 22:40

No.1 回答者： -razuru- 回答日時： 2021/07/04 21:56

x^5/5+2x^3/3+xやから32/5+16/3+2-1/5-2/3-1

眠くてミスってるかもだけど
31/5+14/3+1=93+70+15/15=178/15

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/04 22:30