nを奇数とするとき、n^2－1は8の倍数であることを証明せよ。 (解答)n＝2k＋1を代入して (2

nを奇数とするとき、n^2－1は8の倍数であることを証明せよ。
(解答)n＝2k＋1を代入して
(2k＋1)^2－1＝4k^2＋4k＝4k(k＋1)
k(k＋1)は連続する2つの整数の積なので2の倍数であるから4×2の倍数よりこれは8の倍数である。

連続する3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。
(解答)
連続する3つの整数の積はn(n＋1)(n＋2)
連続する3つの整数の積には連続する2つの整数が含まれることから、連続する3つの整数の積は2の倍数である。整数nは3k、3k＋1、3k＋2のいずれかで表される。(ⅰ)n＝3kのとき
3k(3k＋1)(3k＋2)より3の倍数
(ⅱ)n＝3k＋1のとき
n＋2＝3k＋3＝3(k＋1)よって3の倍数
(ⅲ)n＝3k＋2のとき
n＋1＝3k＋3＝3(k＋1)よって3の倍数
(ⅰ)〜(ⅲ)より連続する3つの積は3の倍数である
よって連続する3つの整数の積は2の倍数かつ3の倍数で、2と3は互いに素より6の倍数である。
とかかれています。
6の倍数であることを示すには確かに連続する3つの整数の積が2の倍数でもあり3の倍数であることを示せば良いから解答のようにするのもわかります。ですが、2の倍数のときと3の倍数のときで別々に考えていますよね？どうしてそうなのかを考えたので、あっているか教えてください。
まずn(n＋1)(n＋2)は同じでnも3k、3k＋1、3k＋2ところまではおなじです。
(ⅰ)n＝3kのとき
3k(3k＋1)(3k＋2)となり3kは3の倍数、(3k＋1)(3k＋2)は連続する2つの整数の積なので2の倍数
よって2の倍数と3の倍数の積なので6の倍数
(ⅱ)n＝3k＋1のとき
(3k＋1)(3k＋2)(3k＋3)となり3k＋3は3の倍数、
(3k＋1)(3k＋2)は連続する2つの整数の積なので2の倍数よって同様に6の倍数
(ⅲ)n＝3k＋2のとき
(3k＋2)(3k＋3)(3k＋4)となり3k＋3は3の倍数、(3k＋2)(3k＋4)は連続する2つの整数の積とはいえないので2の倍数とはいえない。だからn(n＋1)(n＋2)は6の倍数であることを示すことができない。だからn(n＋1)(n＋2)は2の倍数でもあり3の倍数だよと別々で言ってあげて互いに素よりもとめる。ということでいいですか？

質問者からの補足コメント

• あ、たしかに。
  でも2の倍数と3の倍数の積ではないので、(ⅲ)
  は互いに素なのでという説明でやらないとダメですよね？(ⅰ)(ⅱ)は積の形なのでべつに互いに素なことを書く必要はない。
  あ、ということは(ⅰ)(ⅱ)もべつに積だからではなく2の倍数かつ3の倍数なので、2と3は互いに素なので6の倍数といえるので、解答では(ⅰ)〜(ⅲ)すべてこの説明にすることで最初に2の倍数のことを言ってしまって、あとは3の倍数であることを確かめて最後に互いの素の説明をしてあげてるということですかね？

    補足日時：2021/07/16 16:09

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2021/07/16 19:05

＞(3k＋2)(3k＋4)は連続する2つの整数の積とはいえないので2の倍数とはいえない。

何で そこだけ 切り出して考えるの？
(3k+2)(3k+3)(3x+4) と全部を考えれば、
k が奇数の時は 3k+3 が 偶数(2の倍数)になり、
k が偶数の時は 3k+2 と 3k+4 が 偶数(2の倍数)になりますよね。
つまり 3つの積が 2の倍数であり且つ3に倍数でもあることになります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/16 18:44

確かに、２の倍数であることと３の倍数であることを別々に示しても

６の倍数であることは言えるけれど...
ｎを６で割った余りで場合分けする方法もあります。

n=6k のとき、
n(n+1)(n+2) = 6k(n+1)(n+2) は6の倍数である。

n=6k+1 のとき、
n(n+1)(n+2) = 6n(3k+1)(2k+1) は6の倍数である。

n=6k+2 のとき、
n(n+1)(n+2) = 6(3k+1)(2k+1)(n+2) は6の倍数である。

n=6k+3 のとき、
n(n+1)(n+2) = 6(2k+1)(3k+2)(n+2) は6の倍数である。

n=6k+4 のとき、
n(n+1)(n+2) = 6n(n+1)(k+1) は6の倍数である。

n=6k+5 のとき、
n(n+1)(n+2) = 6n(k+1)(n+2) は6の倍数である。

以上のように、nを６で割った余りの値によらず
n(n+1)(n+2)は６の倍数であることが示された。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/16 11:32

「

(ⅲ)n＝3k＋2のとき
(3k＋2)(3k＋3)(3k＋4)となり3k＋3は3の倍数、
(3k＋2)(3k＋4)は連続する2つの整数の積とはいえないので2の倍数とはいえない。
」
けれども
(3k＋2)(3k＋3)
は連続する2つの整数の積なので2の倍数
よって同様に6の倍数
だからn(n＋1)(n＋2)は6の倍数である
ことを示すことができる
だから
「
n(n＋1)(n＋2)は6の倍数であることを示すことができない。
」
というのは誤りです

n(n＋1)(n＋2)は2の倍数でもあり3の倍数だと
別々でいってもそうでなくても
どちらでも
n(n＋1)(n＋2)は6の倍数である
ことを示すことができます

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/07/16 11:19

連続する3つの整数の積は6の倍数であることを証明するには、

場合分けする必要は無いでしょ。

連続する3つの整数を k, k+1, k+2 とすれば、
必ず 1つは 3の倍数になり、少なくとも 1つは 偶数(2の倍数) になる。
これだけで 証明は 充分だと思いますよ。

k が 偶数ならば、k と k+2 が 偶数。
k が 奇数ならば、k+1 が 偶数。
k が 3で割り切れれば、k は 3の倍数。
k が 3で割って1 余れば、k+2 は 3の倍数。
k が 3で割って2 余れば、k+1 は 3の倍数。

No.1 回答者： iruiru298 回答日時： 2021/07/16 07:29

連続するk個の整数の積はｋ以下のすべての数の倍数なので、

連続する3つの整数の積は３と２の倍数で６の倍数
で良くない？