f(x)=(ax+b)³の微分した結果しか知らないとして(式f(x)=(ax+b)³は知らないとして

f(x)=(ax+b)³の微分した結果しか知らないとして(式f(x)=(ax+b)³は知らないとして)、その結果を微分の定義を使って逆算して、元の式(f(x)=(ax+b)³)を求める事はでぎすか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/26 13:10

なに？　fxを積分するという事？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/26 13:13

間違った、

f'からfをもとめられるかということ?

この回答へのお礼

そうです。

お礼日時：2021/07/26 13:49

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/07/26 13:22

できません。

f(x)が微分可能である場合、f'(x)はf(x)の関数ですが、f(x)はf’(x)の関数ではありません(積分定数があります)。

f(x)=(ax+b)³＝a³x³+3a²bx²+3ab²x+b³
f'(x)=3a³x²+6a²bx+3ab²
∫f'(x)dx=a³x³+3a²bx²+3ab²x+C

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/26 14:25

あなたの　別の質問とも関連してきますが

まず　不定積分の簡単な定義から説明しておきます
F'(x)=f(x)であるとすると
F(x)をf(x)の不定積分と言います
式にすれば
∫f(x)dx=F(x)+C (C:積分定数・・・①）です
これは、きわめてざっくりと言ってしまえば
あたかも　微分と積分は真逆の操作だと見える
ということです
真逆の操作ということは
2に３をかけて　真逆の操作3でわるという事をすれば元の２に戻る
（２になにもしなかった）
というのと同じで
F(X)を微分してF'(X) それを積分すれば元に戻って（何もしなかったのも同然で）F(x)になるということになります（ただし積分定数は無視した場合の話です）

ゆえに　①の途中経過を書けば
∫f(x)dx=∫F'(x)dx=F(x)+C・・・①'
左辺から中辺の変形は　
F'(x)=f(x)と置いたのだからこのようになるのは納得のはずです　
そして中辺はF(x)を微分してF'(x)
これに真逆操作の積分を加えると意味になっていますから、その結果は何もしなかったのも同然で　F(x)になるというわけです
ただし　不定積分なんで積分定数Cは必要
（これを踏まえて、あなたのもう一つの質問に対する私の解答を読んでみて下さいませ・・・多分理解が進むはず）

ではこの問題について
F(x)=(ax+b)³　・・・ただし右辺は未知
F'(x)=3a(ax+b)²　・・・既知
だとすると
①'により
F(x)+C=∫F'(x)dxです！
つまりは既知である　3a(ax+b)²を積分すればF(x)のある程度の形は見えてくるというわけです（ある程度というのは　定数項を除いた部分までは分かるという意味）
∫F'(x)dx＝∫3a(ax+b)²dx
この積分は学生さんなら楽々できるはずですが
高2生程度の知識だけでやるなら以下
∫3a(ax+b)²dx=3a∫(ax+b)²dx
=3a∫(a²x²+2abx+b²)dx
=3a∫(a²x²)dx+3a∫(2abx)dx+3a∫b²dx
＝3a³(x³/3)+3a²bx²＋3ab²x+C

C=b³だと確信できる場合に限って
3a³(x³/3)+3a²bx²＋3ab²x+C
＝a³x³+3a²bx²＋3ab²x+b³
=(ax+b)³
が突き止められます

Cの値が不明な場合は
F(x)=(ax+b)³＝a³x³+3a²bx²＋3ab²x+b³
∫3a(ax+b)²dx＝a³x³+3a²bx²＋3ab²x+C
というように定数項以外まで突き止められることになります

もし直観などで、微分してF'(x)=3a(ax+b)²になるようなF(x)に目星がつく場合は
①'により　F(x)（定数項を除く）が計算なしでもわかるかも　ということになります