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サイコロを9回振って3回連続で偶数が出る確率はどうなりますか?

質問者からの補足コメント

  • すみません補足します
    全部偶数だった場合は「この試行では1回でた」とカウントします

      補足日時:2021/08/07 15:19

A 回答 (16件中1~10件)

#4です。



全部偶数だった場合は「この試行では1回出た」とカウントします、とのことですので、プログラムを組んで数え上げました。

その結果、 238 / 512 = 0.4648438 でした。

参考までにRのスクリプトと結果の一部を示しておきます。n桁の二進数を生成して、1の連続発生をカウントしています。

これを数学的に解く方法を考えなければなりませんね。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# 9投中3連続が出るか出ないか

dec2bin <- function(num, digit = 0){
if(num <= 0 && digit <= 0){
return(NULL)
}else{
return(append(Recall(num %/% 2,digit-1), num %% 2))
}}

n <- 9
result <- NULL

for(i in 0:(2^n - 1)){
x <- dec2bin(i, n)
ans <- ifelse(sum(x[1:(n - 2)] * x[2:(n - 1)] * x[3:n]) == 0, 0, 1)
result <- rbind(result, c(x, ans))
}

sum(result[, n + 1]) / nrow(result)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

途中までの試行結果です。最後の列が勝敗です。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
[3,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
[5,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
[6,] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
[7,] 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
[8,] 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
[9,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
[10,] 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
[11,] 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
[12,] 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0
[13,] 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
[14,] 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
[15,] 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1
[16,] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
[17,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
[18,] 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
[19,] 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
[20,] 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
[21,] 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
[22,] 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
[23,] 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
[24,] 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
[25,] 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
[26,] 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
[27,] 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
[28,] 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
[29,] 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
[30,] 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
[31,] 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1
[32,] 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
[33,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
[34,] 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
[35,] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
[36,] 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0
[37,] 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
[38,] 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
[39,] 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
[40,] 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1
[41,] 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
[42,] 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
[43,] 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0
[44,] 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0
[45,] 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
[46,] 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
[47,] 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
[48,] 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
[49,] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
[50,] 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
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数字は合うのですが、ちょっと分からないのは、



3投でヒットするのは「偶・偶・偶」の1ケース。

4投でヒットするのは「偶・偶・偶・奇」「奇・偶・偶・偶」「偶・偶・偶・偶」の3ケースでそのうち最初のものは3投目でカウントされています。つまり2ケース増えています。

hondawaraさんがおっしゃるように、ラスト4回が奇偶偶偶になる確率を加えていく、というのであれば、4投における「偶・偶・偶・偶」がカウントされないのではないかと思いました。

いや、数字は合うから不思議なのです。
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#9です。



下表のnが投数、resultが正直に数え上げた3連続生起数、pがそれから求めた発生確率、最後にp.hatがhondarawaさんの漸化式です。
3投~20投まで見事に一致しています。素晴らしい!

_n_result_________p_____p.hat
_3______1_0.1250000_0.1250000
_4______3_0.1875000_0.1875000
_5______8_0.2500000_0.2500000
_6_____20_0.3125000_0.3125000
_7_____47_0.3671875_0.3671875
_8____107_0.4179688_0.4179688
_9____238_0.4648438_0.4648438
10____520_0.5078125_0.5078125
11___1121_0.5473633_0.5473633
12___2391_0.5837402_0.5837402
13___5056_0.6171875_0.6171875
14__10616_0.6479492_0.6479492
15__22159_0.6762390_0.6762390
16__46023_0.7022552_0.7022552
17__95182_0.7261810_0.7261810
18_196132_0.7481842_0.7481842
19_402873_0.7684193_0.7684193
20_825259_0.7870283_0.7870283
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0投目の確率を0としてやったところ、



私が先に数え上げた20投のケースまで全て一致しました。

素晴らしい!
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P(n)=P(n-1)+{1-P(n-4)}×(1/2)^4



を検証しようとしたのですが、n=4のときに、真ん中の項のn-4でエラーになります。
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9回目までに3連続偶数がある確率とは、


8回目までに3連続偶数がある確率 + 8回目までに3連続偶数は無いが、9回目で3連続偶数になる確率になります。

後者はつまり、5回目までに3連続偶数はなく、ラスト4回が奇偶偶偶になる確率です。

よって、n回までに偶数が3連続する確率をP(n)と表す場合、
n>=4の時は、
P(n)=P(n-1)+{1-P(n-4)}×(1/2)^4 となります。

n<3の時、3連続はあり得ないので、P(0)=P(1)=P(2)=0 です。
n=3の時、3回とも偶数になる確率なので、p(3)=(1/2)^3 です。

以上の漸化式からP(9)を、Excelを使って求めると、0.46484375でした。
#11さんの計算とも一致するので、これで合っていると思います。
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#3です(#8の方の通りです)訂正します



偶偶偶が1/2^3=1/8
奇偶偶偶が1/2^4=1/16
?奇偶偶偶が1/2^4=1/16
??奇偶偶偶が1/2^4=1/16

奇??奇偶偶偶が1/2^5=1/32
偶奇?奇偶偶偶が1/2^6=1/64
偶偶奇奇偶偶偶が1/2^7=1/128

?奇??奇偶偶偶が1/2^5=1/32
?偶奇?奇偶偶偶が1/2^6=1/64
奇偶偶奇奇偶偶偶が1/2^8=1/256

??奇??奇偶偶偶が1/2^5=1/32
奇?偶奇?奇偶偶偶が1/2^7=1/128
偶奇偶?奇奇偶偶偶が1/2^8=1/256
奇奇偶偶奇奇偶偶偶が1/2^9=1/512
偶奇偶奇偶奇偶偶偶が1/2^9=1/512

∴サイコロを9回振って3回連続で偶数が出る確率は

1/8+3/16+3/32+2/64+2/128+3/256
=1/4+1/8+1/16+1/64+1/128+1/256
=59/128+1/256
=119/256
≒0.4648375
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#9です。



間違えました。試行の総数は2^nになります。訂正させて下さい。
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#4です。



勝率を一般化するために、n投中に3連続が少なくとも1回発生する試行数を調べてみました。

1~2投では3連続は出ないので、3投~20投まで調べました。
試行の総数は2^n-1になります。

勝率(発生回数/全ての場合の数)は、一定値に漸近するようです。
9投までは、胴元の勝ちで、10投にすると、わずかにチャレンジャーの勝ちになります。9投とはそういう回数だったのですね。

このグラフを見て、何関数か考え中です。

発生回数は以下のとおりです。

___result
3_______1
4_______3
5_______8
6______20
7______47
8_____107
9_____238
10____520
11___1121
12___2391
13___5056
14__10616
15__22159
16__46023
17__95182
18_196132
19_402873
20_825259
「サイコロを9回振って3回連続で偶数が出る」の回答画像9
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2^9=512ですから、場合の数は512ですよね。


Excelで試行した結果、238/512=0.46484375くらいだと思います。
通分すると119/256です。式があっていればですが。
№3の59/128は分母を256にすると118/256,分母を512にすると236/512ですね。少し違います。
2回3連続以上が起こるケースは18ケースありました。
№3さんの中に1/256分抜けてませんかね。
6回目までそろわないパターンが
??奇??奇偶偶偶が1/2^5=1/32 16通り
奇?偶奇?奇偶偶偶が1/2^7=1/128 4通り
偶奇偶?奇奇偶偶偶が1/2^8=1/256 2通り 合計22通り
ですが、24通りあるようです。
奇奇偶偶奇奇偶偶偶
偶奇偶奇偶奇偶偶偶がパターンとして入りませんか。
要確認です。皆さんお願いします。
ちなみにExcelですが
A列0-512について
B2=IF(MOD(A2,512)>=256,1,0)
c2=IF(MOD(A2,256)>=128,1,0)以下同様にj列までとし
L2=B2
M2==IF(C2=0,0,L2+1)以下同様にt列までとし
3以上のカウントのある行をカウントしています。
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