f(f(x))=xの正の解

k を実数の定数とし f(x)=kx(1-x) とする。
f(f(x))=x を満たす正の数 x がただ1つ存在
するように k の値を定めよ。
という問題の私の答えは以下の通りです.あっていますでしょうか?

kを実数の定数とし
f(x)=kx(1-x)
f(f(x))=x
とすると
x-f(f(x))=0
=x-kf(x){1-f(x)}=0
=x-(k^2)x(1-x){1-kx(1-x)}=0
=x{1-(k^2)(1-x)(1-kx+kx^2)}=0
=x{1-(k^2)(1-(k+1)x+2kx^2-kx^3)}=0
=x{k^3x^3-2k^3x^2+k^2(k+1)x-k^2+1}=0
=x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}=0

k=0の時
x=0がf(f(x))=xのただ1つの解だから正の解数0

k≠0
x1=(k-1)/k
x2={k+1-√(k^2-2k-3)}/(2k)
x3={k+1+√(k^2-2k-3)}/(2k)
とする
0,x1,x2,x3はf(f(x))=xの解

k<-1の時
0<x2<x1
だから正の解数2

k=-1の時
x1=(k-1)/k=2
x2=x3=0
だから正の解数1

-1<k<0の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

0<k≦1の時
x1=(k-1)/k≦0
x2,x3は虚数
だから正の解数0

1<k<3の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

k=3の時
x1=x2=x3=2/3
だから正の解数1

k>3の時
0<x1<x3
だから正の解数2

∴
-1≦k<0.または.1<k≦3

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/22 13:33

失礼しました。

問題文を読み間違えました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/22 16:29

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/22 13:15

間違い。

つねに、x=0 は解だから、xが正の解のみ持つ場合は存在しない。