グランジュの未定乗数法で最大最小値を求める

x^2 + y^2 - 4 = 0 という条件下で f(x,y) = x + 2y の最大値を求める。

　これは、高校数学的な解法でやったほうが簡単で、その理由もわかりやすいのですが、ラグランジュの未定乗数法の勉強中なので、その解法についての質問です。
　未定乗数法で計算すると

　　(x, y) = (2/√5, 4/√5) ･････(1)
　　(x, y) = (-2/√5, -4/√5) ･････(2)

が極値をとる可能性がある点であり、実際(1)で極大値2√5、(2)で極小値-2√5 となります。
　ここまではいいのですが、これがそのまま最大値、最小値になるとなる理由がわかりません。

　x^2 + y^2 = 4 は 有界閉集合で, 関数 f(x,y) = x + 2y は連続関数だから f(x,y) は必ず最大値と最小値を持つ。
　したがって、それらはそれぞれ極大値・極小値と一致する。

・・・ということらしいのですが、これがよくわからないのです。
　ラグランジュの未定乗数法や陰関数定理のことがよくわかっていないせいだとは思いますが、たとえば連続関数
　　y = x^3/5 - 10x - 6
は閉区間[-10≦x≦10]（これも有界閉集合？）において x = -10 で最小値、x = 10 で最大値をとりますが、それらは明らかに極小値と極大値とは異なります。

　まったく見当違いのことを比較しているのだと思いますが、この2つの例の違いを教えていただけたらありがたいのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/27 18:01

１．

ラグランジュの未定乗数法で求められるのは停留点です。つまり、
極値、鞍点、変曲点などがあります。したがって、これらを別の
方法で判定する必要があります（１変数でも同様）。

この判定には縁付きヘッセの式がありますが、計算が面倒で判定
できないときもあります（多変数の極値問題でも同様）。
http://tomkitamura.html.xdomain.jp/2016math/2016 …

２．
したがって、今回の場合、fが微分可能なので、最大最小は極値に
なります。極値は２つしかないので、これらは最大最小のいずれか
になり、極値であることもわかります。その値を比較すれば最大最
小がわかります。

もし、候補が２つ以上っても、それらの値の最大最小を求めればよ
く、停留点の種類を気にする必要はありません。

もし、有界でなければ、別に考えねばなりません。

３．
y = f(x)、区間 [a,b]
の場合は、両端という境界があるので、両端では近傍が取れません
ので微分で極値の判定はできません。f'(x)≠0 でも極値になりえま
す。

したがって、(a,b)において、f'(x)で求めた極値と両端 f(a),f(b)の
値を比較して、最大最小を求めます。

前の例では、このような境界（端）が無いので微分だけで判定でき
るのです。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。とてもよくわかりました。助かりました。

お礼日時：2021/08/27 23:57

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/27 20:12

＞ y = x^3/5 - 10x - 6 は閉区間 [-10≦x≦10] （これも有界閉集合？）において

＞ x = -10 で最小値、x = 10 で最大値をとりますが、
＞ それらは明らかに極小値と極大値とは異なります。

ダウト。
単に最大最小を考えるのでなく、極大極小を考えるのであれば、
定義域に位相が入っている必要があります。

実閉区間には、実数からの相対位相を入れるのが自然でしょう。
[-10≦x≦10] に実数から相対位相を入れた空間の
開集合は、実開集合と [-10≦x≦10] との交わりとなります。
よって、この位相での x = 10 の開近傍は、
(a,10] {a は -10≦a<10 の実数} という半開半閉区間です。

この近傍系において、 y(10) は y の極大値になっています。

x = -10, 10 が境界点であることを気にしているようですが、
x^2 + y^2 - 4 = 0 は、境界が無いどころか
曲線上の全ての点が実 ２ 次空間上の境界点です。
ふたつの話に、異なることは何も無いと思います。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2021/08/27 23:57