結合密度分布（コーシー分布）の問題、教えてください（切実）

秋学期に向けて統計学を学んでいる大学生なのですが、変数変換の演習問題で躓いてしまいました。
何卒お助けください。ご教示ください。
以下は私が考えた、途中式となります。答えに辿り着けないので、どこか間違っているのだと思います。
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問題より
x = yu　
また、y = v　と定義して、
x = uv
y = v
としたあとで、N(0.1)にx,y両方したがっているので、
f(x) = 1/√2π × exp[-1/2(x^2)]　と
f(y) = 1/√2π × exp[-1/2(y^2)]　となり
f(x,y) = 1/2π × exp[-1/2x^2 + (y^2)]　

g(u,v) = f(x,y) × J(ヤコビアン) =f(x,y) × v となり、
この時、ヤコビアンに”v”が残ってしまい、
h(u) = integral(∞~-∞) 1/2π × exp[-1/2x^2 + (y^2)] × v

となり、ガウス積分を使うと結局０になってしまう(合ってますか？汗）ため、答えに辿り着けないということになっております。

どうぞよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 途中式で訂正です。
  f(x,y) = 1/2π × exp{-1/2(x^2 + y^2)}

    補足日時：2021/09/13 15:29

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2021/09/14 15:23

> h(u) = integral(∞~-∞) 1/2π × exp[-1/2x^2 + (y^2)] × v

この積分を計算する時に、正の範囲の積分と負の範囲の積分が打ち消しあって0になってしまうと言ってたのではないのですかね？絶対値があれば被積分関数は常に正なので打ち消す余地はなくなります。
正の範囲だけ積分したものを倍すればよいのも明らかでしょうから、

>x = uv
>y = v
を代入すれば
∫(0→∞) exp(-αv^2)vdv
の形のものを積分するだけ。αはvに依存しない正の定数です(α=(1+u^2)/2かな？)。
あとは高校レベルの話なので難しくないはず。

この回答へのお礼

被積分関数が偶関数になるので、integral(-∞~∞)を、2× integral(0~∞)にして、そのあとはガウス積分を使ってなんとか解く事ができました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2021/09/16 13:21

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2021/09/13 15:57

f,gが何を意図してるのかにもよる部分ですが、

> g(u,v) = f(x,y) × J(ヤコビアン) =f(x,y) × v となり、
多分、ヤコビアンには絶対値が付くはずですね。

この回答へのお礼

eatern27さん
アンサーありがとうございます。
f,gは確率密度関数を表しています。
そうですね、ヤコビアンに絶対値をつけ忘れていました。
正しくは|v|ですね。
ご指摘ありがとうございます。
ヤコビアンに絶対値があったとしてもどうやって解けば良いか分からない状態です…。

お礼日時：2021/09/14 12:23