A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
No.3 です。
「補足」に書かれたことについて。>AP^2 + BP^2 はAPとBPそれぞれの距離の最小値の和となりAP+BPの最小値を求めることになりませんか?
ああ、そういう発想ですか。
でも、そうはなりません。
数式で書けば
(x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 2xy
つまり
(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy
なので、x, y の条件によって「『x^2 + y^2』が最小になっても、『(x + y)^2』つまり『x≧0, y≧0 での x + y』が最小になるとは限らない」ということです。
与えられた問題で考えてみれば、3次元だと複雑になるので、xz 平面だけで
A(2, 0, 3)
B(1, 0, 1)
にしてみましょうか。
P(s, 0, 0) とすれば
AP = √[(s - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 3)^2] = √(s^2 - 4s + 13)
BP = √[(s - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2] = √(s^2 - 2s + 2)
よって
AP^2 + BP^2 = (s^2 - 4s + 13) + (s^2 - 2s + 2)
= 2s^2 - 6s + 15
= 2(s^2 - 3s + 9/4) - 9/2 + 15
= 2(s - 3/2)^2 + 21/2
従って、
最小となるのは s = 3/2 のときで、最小値は 21/2
ということになります。
この最小値を k^2 とすると
min(AP^2 + BP^2) = k^2 = 21/2
なので、k>0 とすれば
k = √(21/2) = (√42)/2
ということになります。
このとき、A からの入射角(z 軸の方向との角度)θa と B への反射角(z 軸の方向との角度)θb を考えると
tan(θa) = (2 - 3/2) / 2 = 1/4
tan(θb) = (3/2 - 1) / 1 = 1/2
となるので、明らかに入射角と反射角が違いますね。
これは「xy 平面に対するBの鏡像:B'」を作ったときに、
A - P - B'
が直線にならないということです。
ということは、このときの P は
AP + BP
を最小とする点にはなっていません。
自分でも考えてみてください。
No.3
- 回答日時:
No.2 です。
あなたのやり方でやろうとすると
AP + BP = √[(s - 2)^2 + (t - 0)^2 + (0 - 3)^2] + √[(s - 1)^2 + (t - 2)^2 + (0 - 1)^2]
= √(s^2 - 4s + t^2 + 13) + √(s^2 - 2s + t^2 - 2t + 6)
の最小値を探すことになって、ちょっと高校数学では手に負えませんね。
これを2乗しても、平方根は消えません。
模範解答にあるように、Bの xy 平面に対する対称点、つまり「Bの鏡像:B'
」を作って、AB' 間の「直線距離」を求めるのが通常の解き方でしょうね。
「計算式を何とかこねくり回して解を見つける」のではなく、「解はどのようにすれば見つけるか」を先に考えるということです。
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
「補足」の (2) でよいのですね?あなたがノートに書いているのは
AP^2 + BP^2
ではありませんか?
求めるべきものは
AP + BP
です。
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