a^3=b^2のとき、a^2 b^2は平方数ですが、このときaもbも平方数になる理由が分かりません。

a^3=b^2のとき、a^2 b^2は平方数ですが、このときaもbも平方数になる理由が分かりません。教えてください。お願いします？

No.2 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2021/09/26 14:15

残念ながら、問題が間違っています。

正しい反例をあげれば、
4^3 = 8^2 = 64 ですが、8 は平方数ではありません。

論証すれば、
a^3 を素因数分解すると、すべての因数が 3n 個含まれます。（n はそれぞれになりますが）
同様に b^2 を因数分解するとすべての因数が2n個含まれます。
これが、a^3 = b^2 なので、結局、a^3 や b^2 を素因数分解すると、すべての因数は、6n 個存在します。

上述の例では、64 = 2^6 と素因数分解できるので、因数 2 が 6個存在します。

このことから、a のほうは、素因数が 6n/3 = 2n と複数個存在することが言えるので、a は平方数です。
が、b のほうは、素因数が 6n/2 = 3n 存在する異なるので、必ずしも、何かの二乗では表されません。

上記の例では、b = 8 = 2^3 ですね。
というわけで、a^3 = b^2 だけでは、a, b ともに平方数になるとは言えません。

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2021/09/26 12:31

＞このときaもbも平方数になる理由

反例として
a=9,b=27とか･･･

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。
確かに具体例を上げればそれはそうだとなるのですが出来れば数学的な証明をお願いしたいです。ぜひよろしくお願いします。

お礼日時：2021/09/26 13:15