x^2+12x+m＝0において、2つの解の差が4であるとき、定数mの値と2つの解を求めよ。 という、

x^2+12x+m＝0において、2つの解の差が4であるとき、定数mの値と2つの解を求めよ。
という、高2の数学の問題を教えてください！

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/17 14:29

x²+ax+b=0 の解が p, q とすれば、

x²+ax+b=(x-p)(x-q) と 因数分解出来る事は 分かりますね。

x²+12x+m=0 の 解の 1つを n とすると、もう1つは n+4 になりますね。
つまり x²+12x+m=(x-n)(x-n-4)=x²-(2n+4)x+n(n+4) となります。
係数を比較すると -(2n+4)=12, n(n+4)=m となります。
-(2n+4)=12 → 2n=-16 →　n=-8 、n+4=-4 。
m=n(n+4)=-8*-4=32 。
従って　m=32 , 2つの解は -4, -8 。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/17 14:25

何も考えなくてもそのまま普通に解けばいいだけでは?

問題の二次方程式を解いたら解が二つ出て来ますよね。それをα(m)、β(m)とすると、両者の差は

α(m)-β(m)

これが4と言うわけだから

α(m)-β(m)=4

これはmについての方程式だから、それを解いたらmが求まるし、そうすれば元の二次方程式の解すなわちαとβも求まります。

No.2 回答者： ほい3 回答日時： 2021/10/17 09:22

根の公式で解の差は、±√ｂ²-4acの部分で分母は2aのため

（√ｂ²-4ac）/2a=２　という式になる。
a=1、b=12、c=m　を代入して
（√12²-4ｍ）=４　両辺2乗
144-4m）=16
4m=144-16　
m=38-4
m=32
検証
x²+12x+32＝0
(x+８)(x+4)＝０
2つの解　x=-4,-8

どうでしょうか？

No.1 回答者： mygoonickname 回答日時： 2021/10/17 08:23

おはようございます。

何となくですが、
(X+a)(X+b)　で、a+b=12、a-b=4　を求めたら良い様な気がします。
4と8ではないでしょうか？　→　m=a*b=4*8=32　m:32かと