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数Ⅱの三角関数の単元で、
「三角関数の合成」という内容で
asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)とあるのですが、
sinθにx座標、cosθにy座標がかけられているのはどういう意味ですか?また、なぜそうなるか教えてください

A 回答 (6件)

高校数学では原理的には同じ内容を違う単元で違う式として何回も学ぶことがあります。

既に回答があるように三角関数の合成は加法定理と規格化とを合わせたものです。
加法定理には正弦関数と余弦関数とで別の式がありますがこれも同じものです。(全く同じではありません。でも正弦余弦の関係が直角三角形の角の取り方によるだけであることは分かってますよね。それで書き直せばよいのです)。さて疑問の答えですが教科書の説明は正弦関数の加法定理を使った解を導くための説明で、a=rcosα(これを幾何学的にx座標といっている。多分),b=rsinα(これをy座標といっている)としたときのものです。余弦関数の加法定理を使うならasinΘ+bcosΘ=rcos(Θ-α)としてa=-rsinα(y座標),b=rcosα(x座標)になります。こちらはベクトルの内積と同じものになります。
規格化とはベクトル(a,b)の大きさr=√(a^2+b^2)でもとのベクトルを割って大きさが1の単位ベクトル(a,b)/rにすることです。
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別に、 sinθ に x座標、 cosθに y座標がかけられているわけじゃないです。


話の順序が逆で、先に a sinθ+b cosθ という式が与えられて、その後で
(a, b) という点を考えているんです。 a, b を x座標, y座標と考えるのは勝手
だけど、そう考えなきゃならんと決まってるもんでもない。

a sinθ + b cosθ を
= { √(a²+b²) }{ a/√(a²+b²) }sinθ + { √(a²+b²) }{ b/√(a²+b²) }cosθ
= { √(a²+b²) }{ (a/√(a²+b²))sinθ + (b/√(a²+b²))cosθ }
と変形すると、
(a/√(a²+b²))² + (b/√(a²+b²))² = 1 が成り立つから
a/√(a²+b²) = cosα, b/√(a²+b²) = sinα と置ける
...というだけの話です。

cosαsinθ + sinαcosθ = sin(θ+α) が成り立つのは解りますよね?
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「かけられている」というのはどういう意味ですか?


教科書の生の解説を見てみたいですね。

角度の加法定理を納得していればすんなりわかる話ですが
数式ではなく、図で説明してるのかな?
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rsin(θ+α)を分解すると、


rsinθcosα+rsinαcosθ、ここで
a=rcosα
b=rsinα  と置けば
rsin(θ+α)=asinθ+bcosθ
ってなるってこと。
他に特段の意味はありません。
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asinθ+bcosθ


={√(a^2+b^2)}[{a/√(a^2+b^2)}sinθ+{b/√(a^2+b^2)}cosθ]

{a/√(a^2+b^2)}^2+{b/√(a^2+b^2)}^2=1

となるから

a/√(a^2+b^2)=cosα
b/√(a^2+b^2)=sinα

となる
αが存在するのです

a/√(a^2+b^2)
はx座標である必要はありません

b/√(a^2+b^2)
はy座標である必要はありません
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goo内だけで説明するのは難しいのでこちらのサイトを見てください


https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sank …
簡単に説明すると座標がかけられているというより導出の過程で座標を使うのがわかりやすいから出ているんです。
sin α=a/√a^2+b^2の所が少し分かりずらいと思いますが、これは三角関数の定義を思い出して頂ければすぐ理解できるはずです
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