重積分の積分範囲の求め方について伺いたいのですがD={(x,y)|x<=y,x^2+y^2<=1}の

重積分の積分範囲の求め方について伺いたいのですがD={(x,y)|x<=y,x^2+y^2<=1}のような場合はどうなるのでしょうか？
自力で学んでるのですが、イマイチ理解が追いつかず悩んでおります。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/28 23:40

y=xの下側と x²+y²=1の内側の共通部分になります。

図の塗りつぶし
の半円部です。

すると積分半手はxの範囲を２つに分けて
　x=-1/√2～+1/√2 , y=-√(1-x²)～x

　x=+1/√2～+1 , y=-√(1-x²)～+√(1-x²)

の２つの部分になる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/29 00:47

x≦y, x^2+y^2≦1 の表す範囲を絵に書いて理解すればよいです。

極座標表示すれば、 (x,y) = r(cosθ,sinθ) と書いて
0≦r≦1, （-3/4)π≦θ≦(1/4)π かな。
変数変換するとき、 dx dy = r dr dθ になることを忘れずに
∬[D] f(x,y) dx dy
= ∫[（-3/4)π≦θ≦(1/4)π] ∫[0≦r≦1] f(r cosθ,r sinθ) r dr dθ.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/28 23:14

> D={(x,y)|x<=y,x^2+y^2<=1}

はあまり感心しない略記法です。","とか書いてるせいで、ハッキリした意味が分からないんでしょう。
　xとyがどちらも実数だという暗黙の前提があるものとしますと、正しくは
　　D = {(x,y)|x≦y ∧ x^2+y^2≦1}
であり、すなわちDは「x≦y かつ x^2+y^2≦1 であるような実数のペア(x,y)全部を集めた集合」です。これを
　　D = {(x,y)|x≦y} ∩ {(x,y)|x^2+y^2≦1}
とも表せる。ここで、 {(x,y)|x≦y} は「x≦y であるような実数のペア(x,y)全部を集めた集合」、 {(x,y)|x^2+y^2≦1}は「x^2+y^2≦1であるような実数のペア(x,y)全部を集めた集合」です。どっちも実数のペア(x,y)の集合であり、そしてDは両者の共通部分だ、というわけです。

　さて、この場合には2変数なので、ヨコ軸x、タテ軸yに取った直交座標で表される平面（ユークリッド平面）の上にグラフが描ける。すなわち、実数のペア(x,y)を座標(x,y)だと読み換えるわけです。まず
　　y=x
を直線の方程式だと思って、グラフ（すなわち {(x,y)| y=x} の要素である(x,y)たち）を描いて、さて {(x,y)|x≦y} の部分を赤く塗る。さらに
　　x^2+y^2 = 1
を円の方程式だと思って、グラフ（すなわち {(x,y)| x^2+y^2=1} の要素である(x,y)たち）をさっきのグラフに重ねて描いて、 {(x,y)|x^2+y^2≦1}の部分を青く塗る。すると、両方が重なった部分がDです。

この回答へのお礼

丁寧に教えて貰ってありがとうございます。
ただ、自分は図示はできるのですがそれを積分範囲に落とし込むのが難しいのでこのような質問をさせて頂いております。

お礼日時：2021/10/28 23:27