No.2ベストアンサー
- 回答日時:
環Rが体でないと、そもそもGL_n(R)が定義でいないように思うけど。
No.1
- 回答日時:
1∈R
M_n(R)=(Rのn次正方行列の集合)
E=(n次単位行列)
GL_n(R)={A∈M_n(R)|AA^(-1)=A^(-1)A=EとなるA^(-1)∈M_n(R)が存在する}
とする
A,B∈GL_n(R)
対して
AA^(-1)=A^(-1)A=EとなるA^(-1)∈M_n(R)が存在する
BB^(-1)=B^(-1)B=EとなるB^(-1)∈M_n(R)が存在する
AB{B^(-1)A^(-1)}=E
{B^(-1)A^(-1)}AB=E
となるから
∴
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)が成り立つ
(Rが可換かどうかには無関係に成り立つ)
AA^(-1)=E
t(A^(-1))t(A)=t(AA^(-1))=t(E)=E
t(A)t(A^(-1))=t(A^(-1)A)=t(E)=E
となるから
t(A)^(-1)=t(A^(-1))が成り立つ
(Rが可換かどうかには無関係に成り立つ)
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