1/z^2 を z=i の周りで展開しなさい。 この問題が分からないです。また複素関数論のいい教科書

1/z^2 を z=i の周りで展開しなさい。
この問題が分からないです。また複素関数論のいい教科書もあれば教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/10 20:20

f(z)=1/z^2 をz=i でテイラー展開

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/10 17:13

1/z^2=1/(i+z-i)^2=1/{i*(1+(z-i)/i}^2=-1/{1+(z-i)/i}^2

と変形してから展開するとよい。
|z-i|<1の場合と|z-i|>1の場合で違う形になる。

ヒントとして1/(1+x)^2のマクローリン展開について。
|x|<1において
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...
この両辺をxで微分すると
1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+...
となる。xを-xに置き換えると
1/(1+x)^2=1-2x+3x^2+...
となる。

|z-i|>1の場合は分母を{(z-i)/i}^2で割ってみるとi/(z-i)についての展開とみなすことができる。