平方根の中がプラスになる理由を厳密に考えるとよくわからないのですが

平方根の中がプラスになる理由を厳密に考えるとよくわからないのです。

√aという数があります。

a<0のとき、aの平方根は実数の範囲に存在しないと、数1の教科書に書いてあります。

実数aに対して、2乗するとaになる数をaの平方根という。

と書いてあります。

よくわからない点は、

例えば√2の例を考えて、

2乗すると2になる数は、１.414....とー1.414.....

の二通りあると思うのです。

そうなるとなぜ√の中がプラスでないといけないのか、わからなくなります。

実数aに対して、2乗するとaになる数

は、この場合、1.414.....とー1.414の2通りあるのです。

なぜ√の中はプラスなのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/31 10:43

考える筋道が逆です。

　「平方根の中がプラスになる」のではなく、「プラスの数に対して平方根がとれる」のです。

　実数のかけ算の規則では、　
　　「正数」×「正数」＝「正数」
　　「正数」×「負数」＝「負数」
　　「負数」×「正数」＝「負数」
　　「負数」×「負数」＝「正数」
となります。

　「２乗する」とは、「同じ数をかけ合わせる」ことですから、「元の数」が「正数」であっても「負数」であっても、２乗した結果は必ず「正数」になります。

　「平方根」とは、「２乗した結果から、元の数を割り戻す」計算です。「元の数」の如何にかかわらず、「２乗した結果」は「正数」でしかあり得ませんから、「平方根をとる」対象自体が「正数しかあり得ない」ということになります。
　ですから、実数の範囲であれば「２乗した結果が負数」や「２乗して負数になる元の数」というものは存在しないのです。

　そういった
　　「元の数」→（２乗）→「元の数の２乗」（必ず正数）
　　「元の数」←（平方根）←「元の数の２乗」（必ず正数）
という筋道を考えれば理解、納得できると思います。


　もちろん、「複素数」にまで拡張すれば、「負数の平方根」は存在します。それば「元の数」が複素数であれば、「２乗した結果」が負数となることがあり得るからです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/02 15:02

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/12/31 18:07

＞2乗すると2になる数は、１.414....とー1.414.....

これは数式に翻訳すると
2の平方根は １.414....とー1.414.....
つまり
2の平方根=±√(2)

ということで、ルートの中身の符号とは関わりのない話です。

>a<0のとき、aの平方根は実数の範囲に存在しない

というのは、例えば a = -2 とすると x^2=-2 を満たす x が
実数の範囲で存在しないということです。

ないですよね？　実数の2乗は常に0以上です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/02 15:03

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2016/12/31 17:27

√ の中が、マイナスは虚数と言われるもので、高校2年辺りで、でてきます。

ですので、その時のことを考えてプラスにしています。ただの決まりごとと思ってもらったらいいです。

詳しく言いますと、
プラスの場合は、実数の中に入っています。ところが、
マイナスの虚数は、表示できません！
ですので、高校では、√(ーa) =i という記号で表します。

(通常 虚数は、(実数)+(実数) 掛ける i と表します。)
グラフで表示するとわかるとおもいますが、実数軸には表示できません！
ですので、虚軸と言って実数軸に90度垂直にした軸に表示します。(複素平面)
イメージ的には、x軸が実数軸で、y軸が虚軸になります。

ですから、グラフ表示したら、プラスはできますが、

マイナスは実軸のどこにも表示できませんので、理解できると思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2016/12/31 15:52

少し頭に中が混乱してますね。

＞2乗すると2になる数は、１.414....とー1.414.....

その通りです。√a は １.414....とー1.414.....です。

＞実数aに対して、2乗するとaになる数は、この場合、1.414.....とー1.414の2通りあるのです。

これは、上の文章の「２」を「a」に置き換えただけですね。　つまりa=2 です。
１.414....とー1.414.....は２乗する前の数字です。ルートの中は a ですから「正数」です。

中学校までで習う数学では、掛けて正数になるには　「正数」×「正数」か「負数」×「負数」しかありませんから、
２乗して出来る a と云う数字は「正数」しかありません。

尚、高等学校では２乗すると「－１」になる数字を習います。これを「虚数」と云います。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/12/31 14:20

平方根の中の数字がマイナスになることはあります。

ただしこれ、中学で習う事のない「虚数」というモノです。
極端な話、「√-1」なんて値もあります。

中学生であれば、
No.2でも回答されているように、
「同じ数を乗じた結果はプラスになる」
という事を理解しておけば良いでしょう。

No.1 回答者： Nukogi20161207 回答日時： 2016/12/31 09:55

回答致します。

質問者様は、ある数を２乗した数とある数を２乗する前の数が頭の中でごっちゃになっていると思います。

＞例えば√2の例を考えて、
＞2乗すると2になる数は、１.414....とー1.414.....
＞の二通りあると思うのです。

その通りですが、惜しい。
その場合でも√2ですからルートの中身2は正です。
式にすると、2>0です。

>実数aに対して、2乗するとaになる数
＞は、この場合、1.414.....とー1.414の2通りあるのです。
＞なぜ√の中はプラスなのでしょうか？

この場合も同じです。その通り、aの平方根は正の平方根と負の平方根がありますが、
√aを正の平方根とし、-√aを負の平方根とします。
この場合でも、式にすると、a>0です。

a<0のときは、平方根をとると、実数ではなく、虚数となります。