A,B∈GL_n(R).(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1),(tA)^(-1)=t(A^(

A,B∈GL_n(R).(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1),(tA)^(-1)=t(A^(-1))はRが可換ではないとき、一般には成り立ちませんか？tAはAの転置行列を表す。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/08 18:35

環Rが体でないと、そもそもGL_n(R)が定義でいないように思うけど。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/08 20:42

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/08 17:05

1∈R

M_n(R)=(Rのn次正方行列の集合)
E=(n次単位行列)
GL_n(R)={A∈M_n(R)|AA^(-1)=A^(-1)A=EとなるA^(-1)∈M_n(R)が存在する}
とする

A,B∈GL_n(R)
対して
AA^(-1)=A^(-1)A=EとなるA^(-1)∈M_n(R)が存在する
BB^(-1)=B^(-1)B=EとなるB^(-1)∈M_n(R)が存在する

AB{B^(-1)A^(-1)}=E
{B^(-1)A^(-1)}AB=E
となるから
∴
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)が成り立つ
(Rが可換かどうかには無関係に成り立つ)

AA^(-1)=E
t(A^(-1))t(A)=t(AA^(-1))=t(E)=E
t(A)t(A^(-1))=t(A^(-1)A)=t(E)=E
となるから

t(A)^(-1)=t(A^(-1))が成り立つ
(Rが可換かどうかには無関係に成り立つ)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/08 20:44