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正則な 2 次行列 M に対し, |M^−1| = |M|^−1 が成り立つことを証明せよ。
この問題の解説を教えてください。
よろしくお願いいたします。

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

線型代数の場合、使える定理によって証明の範囲が異なります。



det(AB)=det(A)det(B)を使って良いなら

det(M^(-1))det(M)=det(E)=1
で瞬殺だけど

ここにdet(AB)=det(A)det(B)の証明を行列式の
基礎的な性質の証明から始めると、
結構トンデモない量になる。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2021/12/16 08:27

>det(M)det(MM^(-1))=det(E)=1 (証明終)


修正
det(M)det(M^(-1))=det(E)=1 (証明終)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2021/12/16 08:27

ああ、2次限定でしたね


任意の2x2行列A、Bで
A=
a b
c d
B=
p q
r s
AB=
ap+br aq+bs
cp+dr cq+ds

det(AB)=(ap+br)(cq+ds)-(aq+bs)(cp+dr)
=apds+brcq -aqdr-bscp
det(A)det(B)=(ad-bc)(ps-qr)=adps-adqr-bcps+bcqr

よって任意の2x2行列で det(AB)=det(A)det(B)

MM^(-1)=E(単位行列なので
det(M)det(MM^(-1))=det(E)=1 (証明終)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2021/12/16 08:27

M


=
(a,b)
(c,d)

|M|=ad-bc≠0

A
=
(d/(ad-bc),-b/(ad-bc))
(-c/(ad-bc),a/(ad-bc))

とすると

AM
=
(d/(ad-bc),-b/(ad-bc))(a,b)
(-c/(ad-bc),a/(ad-bc))(c,d)
=
(1,0)
(0,1)

だから

M^(-1)=A

だから

|M^(-1)|
=
|d/(ad-bc),-b/(ad-bc)|
|-c/(ad-bc),a/(ad-bc)|

=(ad-bc)/(ad-bc)^2
=1/(ad-bc)
=1/|M|
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2021/12/16 08:27

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