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月利1%(複利)の30年払いで1000万円を借り、月々102861円ずつ返済していくことになりました。15年間払ったところで、残りを一括返済することにしました。一括返済する金額はどのくらいかという問題です。

色々と計算してみたのですがどうしても答えがでてきません。数学が得意な方、答えがわかると言う方どうかご協力お願い致します。

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A 回答 (4件)

#2



良かった。合ってた>#3の方

スプレッドシート、つぶれて読めないでしょうから、以下に手順を。
1行目はタイトル。A1は月数、B1は残金、C1は返却額とか書けばいい。

A列(月数)は0から1つずつ増える。15年だから0から180まであればいい。A2を0とすれば、A3はA2+1、A4はA3+1という式。

B列(残金)は、最初は10,000,000になる。借りたばかりで返してないから。次の月は、残金+(残金*1%)-102,861。B2は10,000,000、B3はB2+B2*1%-102,861。B4はB3+B2*1%-102,861。以下同じ。

C列(返却額)。最初の月(0ヶ月目)は返していないので、空白。
それ以降は前月の残金から当月の残金を引いた値。C3はB2-B3、C4はB3-B4で以下同じ。
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ローン計算の基本です。


実際の計算は「手計算」では大変なので、「エクセル」などの表計算ソフトを使うとよいです。各セルに同じ関数を「コピー」していくだけでできますから。
なお、下記の最終の数値計算も関数電卓がないと無理です。

借入額 S、月利 r の複利、毎月一定額 H を返済する場合の計算です。

1ヶ月目:

(1a) 月初の元金(借入額全額):S

(1b) 月末の借金は、利子が加わって:(1 + r)S

(1c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
 S1 = (1 + r)S - H

2ヶ月目は

(2a) 月初の借入残高は、S1 = (1 + r)S - H

(2b) 月末の借金は、利子が加わって:
 (1 + r){(1 + r)S - H}
= (1 + r)^2・S - (1 + r)H

(2c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
 S2 = (1 + r)^2・S - (1 + r)H - H
  = (1 + r)^2・S - [1 + (1 + r)]H

3ヶ月目は

(3a) 月初の借入残高は、S2 = (1 + r)^2・S - [1 + (1 + r)]H

(3b) 月末の借金は、利子が加わって:
 (1 + r){(1 + r)^2・S - [1 + (1 + r)]H}
= (1 + r)^3・S - [(1 + r) + (1 + r)^2]H

(3c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
 S3 = (1 + r)^3・S - [(1 + r) + (1 + r)^2]H - H
  = (1 + r)^3・S - [1 + (1 + r) + (1 + r)^2]H

これを延々と繰り返します。
すると、kヶ月目(k ≧ 2)は

(ka) 月初の借入残高は、S(k-1) = (1 + r)^(k - 1)・S - [1 + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^(k - 1)]H

(kb) 月末の借金は、利子が加わって:
 (1 + r){(1 + r)^(k - 1)・S - [1 + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^(k - 1)]H}
= (1 + r)^k・S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^k]H  ※

(kc) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
 Sk = (1 + r)^k・S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^k]H - H
  = (1 + r)^k・S - [1 + (1 + r) + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^k]H


ここで、n ヶ月目に一括返済する場合の返済額は、n ヶ月目の月末の借金残高(上記の※で k=n としたもの)ということになりますので、その額は

Pn = (1 + r)^n・S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ・・・ + (1 + r)^n]H   ①

ということになります。

つまり、借入額 S に (1 + r)^n をかけたものから、返済額 H に「公比 (1 + r) の数列の合計」をかけたものを引けばよいことが分かります。

この第2項の「公比 (1 + r) の数列の合計」は、初項が(1 + r)、第n項までの合計なので、公式より
 (1 + r) + ・・・ + (1 + r)^n = [(1 + r)^n - 1] / [(1 + r) - 1]
= [(1 + r)^n - 1] / r
ですから、①は

 Pn = (1 + r)^n・S - {[(1 + r)^n - 1] / r}H    ②

ということになります。

ここで、試しに毎月の返済額を試算してみます。
nヶ月で完済すれば、Pn=0 になるので、このとき②より

 (1 + r)^n・S = {[(1 + r)^n - 1] / r}H
→ H = S・r・(1 + r)^n / [(1 + r)^n - 1]    ③

で毎月の返済額が決まることになります。

あなたのローンの場合には、
 S = 10,000,000
 r = 0.01
 n = 360(月)
なので、③式から毎月の返済額は
 H = 10,000,000 * 0.01 * (1 + 0.01)^360 / [(1 + 0.01)^360 - 1]
  = 102861.25・・・
  ≒ 102,861
になると思います。
あなたの書かれている毎月の返済額に一致しますね。


ということで、本題に戻って、15年の末(180ヶ月)で繰り上げ返済するときの返済額は、②式に
②の式に
 S = 1000万円 (=10,000,000)
 r = 0.01
 H = 102,861
 n = 180
を入力すれば
 P180 = (1 + 0.01)^180 * 10,000,000 - {[(1 + 0.01)^180 - 1] / 0.01}*102,861
   = 8,570,701.055
   ≒ 8,570,701
ですね。
#1 さんの結果とも一致します。

返済期間30年の半分経っているのに、借入残高は14%しか減っていないことに愕然としますね。
月利 1% つまり単純計算で年利 12% で借金をしたら、毎月の返済のほとんどは「利息の返済」に消えていて、借金の元金はなかなか減らないことがよく分かります。
それは、#2 ③のグラフからもよく分かりますね。

ローンを借りる場合には、そういった実態をよく理解して返済計画を組みましょう。
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>どのように計算したかも教えていただけるとありがたいです!!



スプレッドシートで。
「数学得意な方!等比数列について教えてくだ」の回答画像2
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¥8,570,701かな。

元金が毎月3,000円弱減っていく感じ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。どのように計算したかも教えていただけるとありがたいです!!

お礼日時:2021/12/19 14:01

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