1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行う。 記録されたn個の数字

1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行う。
記録されたn個の数字の積が平方数になる確率を求めよ。


この問題なのですが、自分で考えたところ、漸化式を用いて解くことが出来ました。
しかし、漸化式の複雑な変形を最後まで遂行するその道のりは、とても長く険しいものでした。
それにも関わらず、辿り着いた答えは、思いのほかシンプルなものでした。
まるで、漸化式を使った私を笑うかのように、清らかな澄んだ姿をしていました。


そこで質問です。
この問題を、漸化式など使わずに、もっとダイレクトに、そして簡単に求めることが出来るでしょうか？
妙案があれば知りたいです。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： qas2021 回答日時： 2022/02/27 20:23

[方法1]

2と3は、n回中どちらも偶数回であれば、数字の積が平方数になるので、該当する組み合わせの確率を足し合わせた

Σ_{e = 0 to [n/2]} Σ_{f = 0 to [n/2] - e} Σ_{a = 0 to n - 2e - 2f} n!/(a!(2e)!(2f)!(n - a - 2e - 2f)!)・1/4^n

を計算していく。
なお、[n/2] は n/2 を超えない整数です。

[方法2]
p[n] = (n回振って平方数になる確率, n回振って2が奇数個で3が偶数個となる確率, n回振って2が偶数個で3が奇数個となる確率, n回振って2と3の両方が奇数個となるい確率)

p[0] = (1, 0, 0, 0)

A =
(1/2, 1/4, 1/4, 0)
(1/4, 1/2, 0, 1/4)
(1/4, 0, 1/2, 1/4)
(0, 1/4, 1/4, 1/2)
（Aは4×4行列）

とおくと

p[n] = p[0] A^n

となるので、Aを対角化して p[n] を求める。


[方法3]
方法2の p[n] について、p[1], p[2], p[3] あたりまで計算して

p[n] = (x[n], 1/4, 1/4, 1/2 - x[n])

となることに気づけば、

x[n + 1] = (1/2)x[n] + (1/4)・(1/4) + (1/4)・(1/4)
= (1/2)x[n] + 1/8

となるので、漸化式を解く方法でも面倒ではないでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/07 11:15