sin(sinx)=cos(cosx)のグラフについて

関数グラフソフト「ＧＲＡＰＥＳ］でタイトルの数式をグラフにすると，閉鎖した円状のものが周期的に現れます。こういうものを数学的に理解するにはどのようにしたらよいのでしょうか?この式を見ただけで想像できることなのでしょうか?

No.4 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/03/23 01:09

No.2では近似計算で円に近いものであることを示しましたが、今度はご質問の曲線が周期的に並ぶ閉曲線であることを証明しましょう。

f(x) = cos(cos(x))
これは、周期πの周期関数です。また、cos(1)≦f(x)≦1 であり、f(x)は常に正です。
nを整数として、x = nπ のときf(x)は最小値 cos(1)　をとります。

g(y) = sin(sin(x))
これは、周期2πの周期関数です。-sin(1)≦g(y)≦sin(1) です。
mを整数として、y = (2m + 1/2)π のとき最大値 sin(1)をとります。
また、(2m-1)π＜y＜2mπ のとき、g(y)は負となります。

ここで、h(x, y) = f(x) - g(y) とおきます。ご質問の曲線は、h(x, y) = 0 と表わされます。

h(x, y)はx方向に周期π、y方向に周期πの周期関数です。そこで、-π/2≦x≦π/2, -π≦y≦π で表される、x方向に幅π、y方向に高さ2πの長方形Ｒの範囲を考えます。周期関数ですから、長方形の外は、周期的に長方形の内部と同じになります。

長方形Ｒの下半分、つまり-π≦y≦0 の範囲をＲ1とします。Ｒ1では、g(y)≦0です。また、f(x)は常に正ですから、h(x, y)＞0 となります。したがって、Ｒ1の中に h(x, y) = 0 はありません。

長方形Ｒの上半分、つまり0≦y≦πの範囲をＲ2とします。Ｒ2は正方形です。Ｒ2の辺上では、h(x, y)＞0 となっています。Ｒ2の内部でh(x, y)が最小となるのは、x = 0, y = π/2 のときで、h(x, y) = cos(1) - sin(1)　となります。これは負の数です。

つまり、正方形Ｒ2の辺上ではh(x, y)＞0　であるが、Ｒ2の内部には h(x, y)＜0 となる点があるので、Ｒ2内でh(x, y) = 0 は閉曲線になります。

この回答へのお礼

私には猫に小判のご解説ですが，折に触れ勉学の糧とさせていただきます。どうもありがとうございました。

お礼日時：2005/03/23 09:36

No.3 回答者： higenotojo 回答日時： 2005/03/22 23:48

sin(siny)=cos(cosx)を変形すると、

y=arcsin(arcsin(cos(cosx)))となります。
arcsinは-1から1の間でのみ定義されています。
cos(cosx)の絶対値は１以下なので、arcsin(cos(cosx))までは関数値が必ず定義されますが、その値の絶対値が１を越えるとarcsin(arcsin(cos(cosx)))の値は定義されなくなります。
そのため、piを周期として周期的に定義されない部分が定期的に出てきます。
なお、「閉鎖した円状」とありますが、実際には「下側円弧状」です。

この回答へのお礼

ご教示どうもありがとうございました。閉鎖した円状と書いたのはソフトが示してくれた形を述べたものですが、○がｘ軸に並行に周期的に並んでいます。

お礼日時：2005/03/23 09:32

No.2 回答者： shkwta 回答日時： 2005/03/22 23:33

これは、どうやらTaylor展開と関係ありそうです。

sin B = cos A のとき、
A±B = (2n + 1/2)π; nは整数

B = sin y, A = cos x のときは、-2≦A±B≦2 なので n = 0 に限られます。

cos x を x = 0 のまわりでTaylor展開して２次の項までとると、
cos x ≒ 1 - (1/2)x^2

sin y を y = π/2, y = -π/2　のまわりでそれぞれTaylor展開して２次の項までとると、
sin y ≒ 1 - (1/2)(y - π/2)^2
sin y ≒ -1 + (1/2)(y + π/2)^2


すると、A + B = π/2, A - B = π/2 は、それぞれ
x^2 + (y - π/2)^2 ≒ 4 - π
x^2 + (y + π/2)^2 ≒ 4 - π

となるので、近似的に円の方程式となります。

この回答へのお礼

私の想像の範囲を超えているところにある関係をご教示いただくのは大変ありがたいことです。円のような形になるのはソフトのせいではなくて、数学的根拠があるわけですね、ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/23 09:28

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2005/03/22 20:25

グラフにするにはyか何かの変数が必要だと思います。

このままだと、xのみに関する方程式ですし、この方程式には解が無いようです。

何か、別な意味であれば補足してください。

この回答への補足

(すみません)＾（∞）！！左辺のｘはｙでした。よろしくお願いいたします。

補足日時：2005/03/22 21:06