高校数学 数列 a[1]=0, a[2]=1/2 および漸化式2a[n+2]=3[n+1]-a[n]

高校数学　数列
a[1]=0, a[2]=1/2
および漸化式2a[n+2]=3[n+1]-a[n] （nは自然数）
で定められる数列｛a[n]｝の一般項を求めよ

という問題で写真のように考えたのですが、混乱して、よく分からなくなってしまいました。どこが間違っていますか。どこまで正しいですか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/28 13:53

＞ 等比数列であるから

の後の式がオカシイ。
初項 A、公比 R の等比数列の一般項は、
第 n 項が A R^(n-1)。
貴方の a[n+1] + α a[n] = (β/2) (1/2)^(n-1) は
そうなっていないよね。

あと、どっちでもいいことではあるが、
② の式を立てる前に
α, β は具体的な値を求めてしまったほうが
記述が楽。
① を展開した式が問題の 2a[n+2] = 3[n+1] - a[n] と
一致するように α, β を決める。
β - 2α = 3,
αβ = -1 となるようにすればよいから、
(α, β) は 2組求められる。
その 2組を代入して得られる 2通りの a[n+1] + α a[n] = の式から
a[n+1] を消去すれば、 a[n] の一般項が求まる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/29 09:13

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/28 14:25

a[n+2]+αa[n+1]=(β/2)(a[n+1]+α[n])・・・・①

から
　α=-1/2,-1 β=2, 1
となり、次の計算が簡単な
　α=-1 β=1
を選べばよい。

①は普通
　a[n+1]+αa[n]=(β/2)ⁿ(a₂+αa₁)=(β/2)ⁿa₂
となる。

②とその上の式が出る根拠が分からない。また
　a₂αa₁=β2⁻¹
は a₁=0 なので成立しない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/29 09:13