ベータ分布の正規分布近似について

二項分布やガンマ分布の正規分布近似は成書によく記載されています。そこで二項分布の仲間であるベータ分布Be(a,b)を正規近似してみようと思いました。
Be(a,b)の平均であるa/(a+b)、分散ab/((a+b)^2*(a+b+1))をそのまま用いN(a/(a+b)、ab/((a+b)^2*(a+b+1)))としたらどうかと思いグラフで見たところ、なるほどa,bがそれぞれ8,9以上になると、モードと平均の差が殆ど無くなり左右対称の釣鐘型に見えてきます。どうやらa,bが大きくなれば正規分布に近づいていきそうだというのはうすうす分かるのですが、このやり方では感覚的に過ぎるのではないかとも思いました。何かスターリングの公式のような近似か、極限を用いて数式的証明をするべきなのでしょうか？それとも実際に色々なa,bの値のもとでグラフ曲線を描き、一々正規曲線を当てはめてみるべきなのでしょうか？それとも二項分布の逆正弦変換のように何かデータを変換させるとかいう方法があるのでしょうか、どうかお教え願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/03/27 07:20

殆ど分らないので、適当な回答だと思ってください

スターリングの公式からということで考えましたが
1 近似に使った正規分布を級数を用いて表してみる
2 ガンは関数とベータ関数には確か関係があったので
　(詳しくは忘れましたが、オイラの公式みたいな感じ)
　一度、ガンマ関数を経由させる

No.4 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/04/05 23:09

前の回答のベータ分布の密度関数を　

　beta(x,a,b)=x^a・(1-x)^b /Β(a+1,b+1)
に訂正させて頂きます。a,bのうち、片方だけ大きくしたときの分布はガンマ分布で近似されます。

参考URL：http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/touke …

この回答へのお礼

参考URLのご紹介ありがとうございます。自分もこのサイトで勉強して見ます。

お礼日時：2005/04/06 14:24

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/04/04 23:52

ベータ分布の密度関数は　

　beta(x,a,b)=x^a・(1-x)^b
　(Β(a,b)はオイラーのベータ関数)
で与えられ、平均はa/(a+b)になります。グラフを描いてみると平均が1/2に近くないときは正規分布からのずれが大きいことが分かると思います。そこで
　a/(a+b) = 1/2 + ε
とおいてεは大きくないとします。xから平均を引いたものをyとします。
　 y = x - (1/2) - ε
すると a = (2+ε)b/(2-ε)　なので
　x^a・(1-x)^b
= {(y+ 1/2 + ε)^((2+ε)/(2-ε))・(1/2 -y -ε)}^b

εは大きくないとしたので
　(y+ 1/2 + ε)^((2+ε)/(2-ε)) ≒ (y+ 1/2 + ε)
と近似すると
　x^a・(1-x)^b
≒ {(y+ 1/2 + ε)・(1/2 -y -ε)}^b
= (1/4 - (y+ε)^2)^b
= (1/4^b)・(1 - 4(y+ε)^2)^b
ここで指数関数の定義
　exp(x) = lim(b→∞) (1 + x/b)^b
を思い出すと
　lim(b→∞) (1 - 4(y+ε)^2)^b
～exp(-4b(y+ε)^2)
=exp(-4b(x-1/2)^2)
となるのでベータ分布は平均1/2、分散 1/(8b) の正規分布で近似されることになります。また正規分布からのずれは
　(2+ε)/(2-ε) ≒ 1 + ε
なので
　(y+ 1/2 + ε)^((2+ε)/(2-ε))
≒ (y+ 1/2 + ε)^(1+ε)
となることから、x^(εb)という因子で与えられます。

この回答へのお礼

平均が0.5に近いベータ分布はこの方法が分かりやすいと思います。ありがとうございました。ところで平均が0.5から偏った場合で、母数が十分大きいベータ分布についてはどうなのだろうかと考えております。

お礼日時：2005/04/05 00:30

No.2 回答者： Ideasforlife 回答日時： 2005/03/29 17:22

a=bだと対称になり、aを大きくしていけば正規分布に近い形になりますね。

ということで、ガンマ分布を経由させれば、それなりに近似の評価は可能だと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。早速試してみます。

お礼日時：2005/03/30 13:28