X君は男で3人きょうだいのうちの1人である。次の(1),(2)の場合についてX君が長男である確率を求めよ。ただし長男とは第1子とは限らないものとする。
(1) X君に妹か弟がいるとわかっている場合
(2) X君に妹がいるとわかっている場合
この問題、不思議なことに(1)より(2)の方が確率が高くなります。そのことについて参考書の解説に
「X君に妹がいるということは、X君に妹か弟がいるときよりも第1子である可能性が高いことを意味している。したがって当然長男である確率が高まる。」
と書いてあって、一瞬納得しかけたのですが、しかし
"X君に妹か弟がいるということはX君が第1子である可能性を高める"
ということも言えますよね?第1子である方が妹か弟がいる可能性が高いわけですから。
そう考えると(1)と(2)を一概に比較することができないような気もしてきて混乱しはじめました。
どう考えればこの解説をすっきりと理解できるでしょうか?
妹がいるという情報には、妹か弟がいるという情報が持ちえない、何らかのX君が第1子である可能性を高める秘密があるのだと思うのですが、それをうまく言語化できる方がおられましたら、是非教えていただけないでしょうか。
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
条件(1)は「X君は第3子ではない」というだけの制約だが、条件(2)はさらに厳しい。
X君が長男である確率PはいずれにしてもP = Pr(X君は第1子) + Pr(X君は第2子)×Pr(姉がいる | X君は第2子)
= 1 - Pr(X君は第2子)×Pr(兄がいる | X君は第2子)
であり、そして(1)(2)どちらの条件でも
Pr(姉がいる | X君は第2子)= Pr(兄がいる | X君は第2子) = 1/2
だから、
P = Pr(X君は第1子) + Pr(X君は第2子)/2
= 1 - Pr(X君は第2子)/2
という風に読めば:「条件(1)はX君が第1子でも第2子でもイッショ(場合の数が同じ)だが、条件(2)は、X君が第2子であるよりも、X君が第1子である方が満たしやすい(場合の数が多い)。だから、Pr(X君は第2子)は条件(2)の方が小さい」という説明で大体いいんじゃないかと思うが、ご質問の答にはなってないかな。どうもボンクラですいません。
この回答が非常に常識的で丁寧なものであることは重々承知しているのですが(その点についてはとても感謝しています)……やはりこれを何度も読んでも「わかった!」という気持ちになれないのが正直なところです。
妹と弟がいるということは第1子である確率を高めないのに、なぜ妹がいるということは第1子である確率を高めるのか、あるいは、妹がいるということは第1子である確率を高めるのに、なぜ妹と弟がいるということは第1子である確率を高めないのか、ということを、自然な日本語で、素朴な感覚で、without calculating で理解したいと心の底から希望しています。
No.12
- 回答日時:
No.8へのコメントについて
「without calculating」と感じるかどうかは個人の計算能力によると思うから、なかなか難しい。再チャレンジ:
条件(1): 「X君はN人兄弟で、末っ子ではない」と分かった。
→ X君が第1子〜 第N-1子のどれであるか、可能性はどれも同じ。
条件(2): (1)に加えて、「妹がいる」と分かった。
→X君が第k子なら、第k+1子~第N子の(N-k)人のうち少なくとも一人が女。
なので、kが小さいほど、X君が第k子である確率は高い。
No.11
- 回答日時:
いつも興味深い問題提起ありがとうございます。
チャレンジしてみました。
すると、『(2)の方が、条件によって該当事象が絞り込まれる』ということは分かります。
しかし、長男かどうかの判定の1の立ち方は、(1)(2)とも同じで、おっしゃるように兄弟の条件との関連性はありません。
それどころか、長男であるにも関わらず(2)では下記×印部分が除外されてしまいますので、参考書の解説は間違いです。
これは、ベイズのごとく、「弟か妹」「妹」という観測事実に依存しているのであり、それらが判明したのちに確率が決まるという事後確率です。
一概に説明するのは困難だと思います。
~~~~~~~~~~~~~~~~~
3人兄弟の全事象に対する各条件合致の生起を調べ、1を付けると
(1)妹か弟がいるという事実に1を長男であるという事実に1を付与する。
X男男,1,1,
X男女,1,1,
X女男,1,1,
X女女,1,1,
男X男,1,0,
男X女,1,0,
女X男,1,1,
女X女,1,1,
男男X,0,0,
男女X,0,0,
女男X,0,0,
女女X,0,1,
兄弟の条件合致数8件中、長男は6件で3/4
(2)妹がいるという事実に1を長男であるという事実に1を付与する。
X男男,0,1,×
X男女,1,1,
X女男,1,1,
X女女,1,1,
男X男,0,0,
男X女,1,0,
女X男,0,1,×
女X女,1,1,
男男X,0,0,
男女X,0,0,
女男X,0,0,
女女X,0,1,
兄弟の条件合致数5件中、長男は4件で4/5
No.10
- 回答日時:
(1)
X君に妹か弟がいてX君が長男の場合は
X男男…①
X男女…②
X女男…③
女X男…④
X女女…⑤
女X女…⑥
の6通り
X君に妹か弟がいてX君が長男でない場合は
男X男…①
男X女…②
の2通り
だから
X君が長男である確率は
6/(6+2)=6/8=3/4=0.75
(2)
X君に妹がいてX君が長男の場合は
X男女…①
X女男…②
X女女…③
女X女…④
の4通り
X君に妹がいてX君が長男でない場合は
男X女…①
の1通り
だから
X君が長男である確率は
4/(4+1)=4/5=0.8
No.9
- 回答日時:
No.8について、やっぱし書いておきます。
「大体いいんじゃないか」というのは「X君が第1子の時に条件(2)では、男ばかりの兄弟という1つの場合だけを除く」という違いがあるけれど、それに対して第2子の場合の数の違いはもっと大きいのは明らかなのだが。でもキチンとやろうとするとまるっぽ問題を解くことになってしまって、ここをキレイに言いくるめるのがなかなか難し…
No.7
- 回答日時:
もう黙りなさい。
ボンクラ過ぎます。」←だからぁ・・
あなたの言いたいのは 妹が2番目に産まれた時の確率だから 妹の方が X君が長男である確率が高い・・って事でしょ・・
・・・・・・・俺の言ってるのは 男女の どちらが産まれるのかは 誰にも分からないから 其処を飛ばしてるだけ・・
なので2分の1でイイのです・・
くだらない事まで考えないのが 俺の生き方
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