【完全微分方程式⠀】 分数で分母が0になり定義できない場合、分母を仮にtと置いてそれを極限t→0とし

【完全微分方程式⠀】
分数で分母が0になり定義できない場合、分母を仮にtと置いてそれを極限t→0として計算して良いのですか？

微分方程式を解く時にarctanA+arctanB=arctan(A+B)/(1-AB)
(※ A=x/y、B=y/x)となりπ/4 という値が出たのですが、この場合 極限を取る事と分母=0は同じと考えて良いのですか？

ydx/(x²+y²) - xdy/x²+y² =0 の完全微分方程式の一般解を求める過程で写真より
P= y/(x²+y²)、Q= - x/x²+y² として積分すると
arctan(x/y)-{arctan(x0/y)+arctan(y/x0)}
=arctan(x/y)-arctan{(x0/y + y/x0)}/1-1
=arctan(x/y)-π/2=C (Cは任意定数)
となるようです

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/07 11:57

たぶん

arctan(ｔ)＋arctan(1/ｔ)＝π/2（ｔ＞0）
arctan(ｔ)＋arctan(1/ｔ)＝－π/2（ｔ＜0）
という性質を意識しているのでしょう。
だから最後の行は厳密にはπ/2のところを±π/2と書くところです。