電位勾配から電界を求める。 x-y平面上原点を中心とした半径a(m)の円板上に一様に分布した電荷があ

電位勾配から電界を求める。
x-y平面上原点を中心とした半径a(m)の円板上に一様に分布した電荷があり、その面積電荷密度はσ(C/m^2)である縁の中心軸上z=Rの点Pでの電位を求め、電位勾配から電界の強さEを求めよ。

電位を求めたら、(σ/2ε0)(√(a^2+R^2)-R)
となりました。
電位勾配から電界の強さEの求め方を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 求めた電位をφについて微分すればいいんですか？
  わかりません

    補足日時：2022/05/16 23:28

• z=Rなので、
  (σ/2ε0)(√(a^2+z^2)-√z^2)をZ方向について偏微分すれば電界求まりますか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/16 23:53

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/17 00:04

電位をV、z軸上の座標をzとすると

　V=(σ/2ε₀)(√(a²+z²)-|z|)
となる。

z軸回転対称だから、x,y方向の電界は無く
　E=-∂V/∂z=-(σ/2ε₀)(z/√(a²+z²)∓1)　(-はz>0, +はz<0のとき)
となる。

なお、
　∂V/∂x=∂V/∂y=0 ・・・・・①
となることは、回転対称だから極座標で
　V(r)=V(-r)
なので
　∂V(r)/∂r=-∂V(-r)/∂r=-∂V(r)/∂r → ∂V(r)/∂r=0
となる。

同様に
　∂V/∂θ=0
は自明だから、この２つにより①が言える。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/16 23:44

中心軸上の高さz

での電位をΦとして
Φをzなどで表す
この位置での電場は
−gradΦ
ちなみに
gradΦ＝(∂Φ/∂x)i+(∂Φ/∂y)j+(∂Φ/∂z)k

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/16 23:32

回答にあった静電ポテンシャルφが電位の事ですが。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/16 23:21

電位をΦとすると

→E=-gradΦ
です