ゼロ／ゼロ＝ゼロ　ですか？

Question

ゼロのゼロ乗は定義されていなかったと思うのですが、
先日テレビのクイズで、問題を解くキーが
０
―＝０
０
だから・・・というものだったんです。

分母が０なら、分子が何であれ∞
分子が０なら、分母が何であれ０

であれば、ゼロ／ゼロは、ゼロのゼロ乗と同じように定義できないのでは、、、？
初歩的な質問ですいません。数学を離れて永いもんで。
よろしくお願いします。

kurobe3463 · Accepted Answer

０で割る計算ができないことは，定義や決まりではありません．

１．０倍したらなんでも０
２．割り算は掛け算の逆算（１２÷３＝４のときは「三四　十二」と唱える）

このことから簡単に導かれる「性質」です．

まず，割り算は掛け算の逆算です．
つまり
１２÷３＝４
の根拠は
１２＝３×４
なのです．これは両辺を3倍したのではなく単純な書き換えですよ．

ということは
０÷０＝□
の根拠は，やはり割り算は掛け算の逆算という定義に従って，掛け算に書き換えて，
０＝０×□
のはずです．
ここで，「０倍したらなんでも０」
でしたから，□に入る数は任意の数で，定まりません．
定まらないことを漢字2文字で「不定」といいます．

同様に
１÷０＝□
の根拠は
１＝０×□
のはずです．
「０倍したらなんでも０」
ですから□に入る数はありません．
数学ではしばしは「不能」と表現します．

また，極限の問題とは無関係です（参考URL）

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/kurobe3463/20050327

yumisamisiidesu · Answer

0^0=1と定義すべきだと思います
でないと整合性が取れないことがあります
それは、以下のことです
e^0=1は分ると思います
∴ 1=e^0=Σ[n=0～∞](0^n/n!)=0^0
e^0=1を成り立たせるために0^0=1
も成り立つようにする必要があります
もっともマクローリーン展開による定義をz≠0で定義すれば別ですがz≠0にして定義する必要もないと思います

ここで、f(z)=z^0　(z∈C)が=1の定数関数になることが言えて、g(z)=0^zがz=0で不連続(z≠0で連続)という結論が出てくると思います

musubime · Answer

定義というのはルールなんですよね．
定義する際，そこから展開される数学が矛盾無く成立するように定義（ルール）を設定する必要があります．
でこういうときに一番困るのが 0 とか ∞ なんですよね． 0 割る 0 を考えても矛盾無く数学ができればそれはそれでいいんだけど通常は考えないことになってます．
出題者はそういうことは考えず，0 割る 0　を
自分の感情的（感覚的？）にもしくはクイズ的に取り決めてしまったのではないでしょうか．
ということでCageAnoeさんの考えていることでいいのでご安心ください．

ritumushi · Answer

数学は、法則に合わない（矛盾すること）は認めないようです。認めるとデタラメになるからだと思います。この場合は、０/０を認めれば、計算法則に従えば、０/０＝０×（１/０）を認めざるをえなくなり、１/０の存在を認めることになり、つまり０の逆数が存在してしまいます。つまり、逆数の性質より、０×（１/０）＝１となり、０/０＝０と矛盾しています。
だから、０/０＝０と定義すると良くないと思います。
（高校の先生の話では、大学では、公理から数の世界を組み立てるので、０/０＝０の世界を作れるとか）

jmh · Answer

> ゼロ／ゼロ、ゼロのゼロ乗と同じように定義できない…

定義はできます。例えば、次のようにして：
　定義（０除算）：　０÷０＝０とする。

fromMtoM · Answer

昔、「不定」と教わったことですね。

高校(中学だったかも？)のときに
1/1＝x とおいたとき分母を移項して 1＝x×1　よってx＝1
0/1＝x とおいたとき分母を移項して 0＝x×1　よってx＝0
1/0＝x とおいたとき分母を移項して 1＝x×0　0に何を掛けても1にはならない、よって「不能」
0/0＝x とおいたとき分母を移項して 0＝x×0　xがどのような数であっても式が成り立つ、よって「不定」
こう考えると理解しやすい、と教わった記憶があります。

まぁ、ゼロでもいいけどゼロだけではないよ、というところではないかと思います。

ゼロのゼロ乗は＃4さんの述べられているとおり「1」と教わりました。

参考URL：http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/mathedu/subjects/nq/natural_num/quotient/zero/index_j.html

quads · Answer

極限のところの式が間違っていました。
＞lim[x→0](x/0) という極限を考えれば、０÷０＝０と言えるでしょう。

lim[x→0](0/x) という極限を考えれば、０÷０＝０と言えるでしょう。
です。

(x/0)ではなく(0/x)です…。失礼しました。

quads · Answer

実は、０で割ること自体は問題ないのです。
数学上、定義されていないことや明らかでないことを条件無しで利用する事が問題なのです。

少し違う話ですが「１＋１ は何でしょう？」というような問題が出され「２」と答えると不正解になる場合があります。
これは問題自体が条件不足のために起こります。
通常の問題では、「現代数学の基本的な定義を満たすもの」「出題された状況などから考えられる解答の範囲」を考慮したものを前提条件として考えられています。

「１＋１は何か」というのが数学の問題であれば、１０進数に於ける単純な加算と捉えて「２」という解答が導かれますし、プログラム上の計算であれば通常２進数が考えられ「10」という解答も導かれます。
また、言葉遊びと捉えれば「田」というような解答も考えられます。

話が逸れましたが、明示された条件が無いと数学上では必ずしも正しくない、或いは間違っていると捉えられてしまいます。
lim[x→0](x/0) という極限を考えれば、０÷０＝０と言えるでしょう。
しかしながら極限に於ける考えですので、０÷０の解ではなく、そのときの条件に於ける極限値にしか過ぎません。

考えられる条件を当てはめてしまえば、何らかの解が導かれることはありますが、それが必ずしも正しいとはいえないので不適切であるということになります。

その番組を見ていないのですが、その前の問題などで「３÷０は０、２÷０は０、１÷０は０、では０÷０は何か？」というような内容があれば、クイズですのでそこまで批判することではありませんが、数学的には不適切ですね。

0^0については一般的に定義されていませんが、大抵の分野で便宜上0^0=1としても矛盾しなかったり適切だったりするので、そういった場合は0^0=1と定義してやっても問題ありません。
しかしながら、やはりこれもある条件下での話です。

『+』は加算記号であるという定義が前提条件であっても、それよりも優先される条件、
例えば、「以下では『+』を乗算と認識して計算しなさい」というようなものがあれば、そちらが優先されます。

一概には、０÷０＝０は成立しないので、テレビ的には宜しくないものであると判断されます。

hanp_1988_emer · Answer

そのテレビは間違っている、というのが結論です。自分もそのテレビ見てておかしいな、と思いました。
今の基本的な数学では、「０で割る」ことは禁止されています。ですから、０／０がなんであるか、などは分かるはずがないのです。
ただ、数学の分野（コンピューター関係だと思います）によっては、÷０を認めている分野もあります。だから、一概に÷０はだめ、とはいえないと思います。
ただ、テレビで÷０をするのはやっぱりおかしいと思いました。

mathematik · Answer

どんな数でも０で割ると∞になるとはかならずしもいえません。中学校で習った反比例のグラフを想像してください。つまりｙ＝a/ｘというあれです。
反比例のグラフはｘをプラス方向から０に近づけると＋∞で、マイナス方向から０に近づけると、－∞になってしまいます。だからa/０は＋∞か－∞のどちらかになる公算が大きいのです。

ゼロ／ゼロ＝ゼロ ですか？

0^0=1と定義すべきだと思います

０で割る計算ができないことは，定義や決まりではありません．

定義というのはルールなんですよね．

数学は、法則に合わない（矛盾すること）は認めないようです。

> ゼロ／ゼロ、ゼロのゼロ乗と同じように定義できない…

昔、「不定」と教わったことですね。

極限のところの式が間違っていました。

実は、０で割ること自体は問題ないのです。

そのテレビは間違っている、というのが結論です。

どんな数でも０で割ると∞になるとはかならずしもいえません。

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