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放物線y=〔1/(4p)〕x^2に、点(a,-p)から引いた2本の接線は、aの値にかかわらず直交することを証明するのがわかりません
おねがいします

まずとく前にどんな図か想像したのですが
下に凸の放物線で2本の接線があるのかな?
でもよくわかりません
いろいろと2じかんすうの参考になるのを探したのですが難しくてお願いします

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A 回答 (5件)

微分のやり方は教科書を見てもらうのが一番なのですが。

たしか数IIIで習うと思います(数IIでも簡単な微分はやったかな?曖昧ですみません)。
それから勉強する範囲ですが、ちょっと答えるのが難しいですね。一言に二次関数の問題といっても様々なパターンがありますから。
あまり参考になる回答になってませんね。ごめんなさい
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No3です。


微分がよく分からなければ、接線の決定法(2)を用いてください。(s , s^2/4p)と(a,-p)の2点を通ることから接線を決定してください。

この回答への補足

微分のやりかたを教えてもらってもいいですか?
それから、これは2次関数の問題なのですがどの範囲を勉強すればいいですか?
よく把握できなくて

補足日時:2005/04/04 23:10
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まず接線の方程式が必要ですね。


接線(に限らず直線)の方程式を決定するためには
(1)直線の傾きと通過する1点がわかっている
(2)直線が通過する2点がわかっている
この(1)(2)のどちらかが必要になります。この問題では(1)を用いるのが良いのではないでしょうか。
まずy=(1/4p)x^2を微分して接線の傾きを出してください(質問者さんが微分の知識があるあることを期待します)これで(1)のうちの1つの情報が得られました。後は通過する1点がわかればいいですね。そこで問題文を見ると接線は点(a,-p)を通ることが分かりますからこれで接線決定のために必要な情報がそろったわけです。
それでは放物線上の任意の2点の接線を決定してくださ
い。後は求めた2つの接線がaの値にかかわらず直交すれば
OKなわけです。
ここで重要なポイントがあります。それは「2直線が直交するための条件」です。その条件は2直線の傾きの積が-1になるということです。計算を進めていくと今回の問題ではこの条件式の中にaという文字が入ってないはずです。つまり直交するかどうかということにaは無関係ということです。だからaの値にかかわらず直交するということが証明できたといえるのです。
こんな感じでどうでしょうか?

この回答への補足

接線の勾配は y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)
がよくわかりません

補足日時:2005/04/03 22:34
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>下に凸の放物線で2本の接線があるのかな?


>でもよくわかりません
多分勘違いしてますよね.(a,-p)が与えられた放物線上にあると思ってませんか?(違ってたらごめんなさい).違ってないとして続けると,
適当に放物線を描いて,適当に2本接線を引いてみては?(例えばy=x^2 をかいて(0,0) での接線Aと(2,4) をでの接線B)するとA,Bは2本の直線ですからどこかで交わりますよね.
問題では順序が違って,初めに2本の接線の交点ありきで,そこで交わる接線を求めて,それが常に直交することを示しなさいということです.
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接線の勾配は y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)



点(a,-p)から引いた接点(m,m^2/(4p))の接線 y-(-p)= k(x-a)

.・. y+p= k(x-a), k = m/(2p)

.・. m^2/(4p) + p = k(m-a)

.・.  pk^2 - (m-a)k + p = 0

.・.  k^2 - ((2pk-a)/p)k + 1 = 0

.・.  k^2 - (a/p)k - 1 = 0

これを接線の勾配k に関する2次方程式と見て解をk1, k2 と置くと解と係数の関係から

 k1*k2 = -1

.・. 放物線y=〔1/(4p)〕x^2に、点(a,-p)から引いた2本の接線は、aの値にかかわらず直交することの証明が出来た。。

 がんばってね。。

この回答への補足

接線の勾配は y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)
がよくわかりません

補足日時:2005/03/30 21:53
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