積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが [－1/2cos2x+cosx]上

積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが
[－1/2cos2x+cosx]上端π/3下端０+[－cosx+1/2cos2x]上端π下端π/3
という式で、
(1/4+1/2)－(－1/2+1)+(1+1/2)－(－1/2－1/4)＝5/2という答えなのですが、自分が計算すると(－1/2+1/2)+(1－1)+(1－1)+(1/2－1/2)＝０　となってしまいました。
通常面積の値なので０はないはずですが、どのように計算して答えが5/2となるのか教えてくださいませんか？自分がどこで躓いているのか知りたいです。
工夫された計算の仕方がある場合は、途中式付きでご教示していただけますか。

質問者からの補足コメント

• 参考までに、問題文は
  0≦x≦πの範囲で、2曲線y＝sinx,　y＝sin2xで囲まれた部分の面積Sを求めよ。というものです。

    補足日時：2022/06/25 13:30

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/25 16:54

間違いはおよそ以下ではないですか？

１　cos2xの２を見落としている
2,cosの係数-1/2や-1や1/2を見落としている
3,cosの値を勘違いしている
4,上端を代入したものはそのままで良いが
下端を代入したものはマイナス倍して扱うことを忘れている
5、4は理解しているが
（面倒くさがり屋な人がやりがちだが）
独特な並び順で表記して
ケアレスミスを犯している
例えば
[－1/2cos2x+cosx]上端π/3下端０
について
普通はまず　上端代入の物をすべて表し
次に下端代入の物をマイナスにして表すので・・・(A)

[－1/2cos2x+cosx]上端π/3下端０
=－1/2cos2(π/3)+cos(π/3)
-{－1/2cos(2・0)+cos0}
=－1/2cos(2π/3)+cos(π/3)
-{－1/2cos(2・0)+cos0}
=(－1/2)・(-1/2)+(1/2)
-{-1/2+1}
＝1/4+1/2-{-1/2+1}
とするべきところを
この代入順を（2つ目の定積分を含めて）守らず
例えば　
－1/2cos2xに、上端π/3下端０を代入したものを書き並べる
cosxに上端π/3下端０を代入したものを書き並べる
というようなことをしていると　
符号ミスが起きやすい・・・

係数見落としなどを再確認して
特に５をやってしまっているようなら
それを改め
文章(A)に忠実に式を作ってみると正しい答えが出ると思いますよ

この回答へのお礼

参考にさせていただきます。　大変勉強になります。

お礼日時：2022/06/26 12:25

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/25 14:06

とすれば、sinx,sin2xの交点は

　sinx=sin2x=2sinxcosx → sinx(1-2cosx)=0
→ x=0,π,π/3
となり、途中の交点は π/3

すると
　S=∫[0,π/3] (sin2x-sinx)dx+∫[π/3,π] (sinx-sin2x)dx
　　=[-(cos2x)/2+cosx][π/3,0] +[-cosx+(cos2x)/2][π,π/3]
　　=(1/4+1/2)-(-1/2+1)+(1+1/2)-(-1/2-1/4)
　　=3/4-1/2+3/2+3/4
　　=5/2

この回答へのお礼

再投稿ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/26 12:23

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/25 14:04

S = ∫[0,π/3]{ sin(2x) - sin(x) }dx + ∫[π/3,π]{ sin(x) - sin(2x) }dx

= [ (-1/2)cos(2x) + cos(x) ]_(0,π/3) + [ -cos(x) + (1/2)cos(2x) ]_(π/3,π)
= [ (-1/2)cos(2x) ]_(0,π/3) + [ cos(x) ]_(0,π/3)
　+ [ -cos(x) ]_(π/3,π) + [ (1/2)cos(2x) ]_(π/3,π)
= { (-1/2)cos(2・π/3) - (-1/2)cos(2・0) } + { cos(π/3) - cos0 }
　 + { -cosπ - (-cos(π/3)) } + { (1/2)cos(2・π) - (1/2)cos(2・π/3) }
= { (-1/2)(-1/2) - (-1/2)1 } + { 1/2 - 1 }
　 + { 1 - (-1/2) } + { (1/2)1 - (1/2)(-1/2) }
= { 1/4 + 1/2 } - { - 1/2 + 1 }
　 + { 1 + 1/2 } - { - 1/2 - 1/4 }
で、写真のとおりですが。 どの部分に疑問がありますか？

(-1/2+1/2)+(1-1)+(1-1)+(1/2-1/2) というのは、
どういう計算から出てきたのでしょうか。

この回答へのお礼

非常に勉強になりました。

お礼日時：2022/06/26 12:24

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/25 13:18

(1/4+1/2)－(－1/2+1)+(1+1/2)－(－1/2－1/4)＝5/2

は間違い。

　(1/2+0)－(－1/2+1)+(1+1/2)－(0－1/2)＝2
です。