「複素数の問題です。虚数aは次の条件をみたしている。α,α^2,α^3,α^4,α^5は相異なり、これら5つの数を解に持つ実数係数の5次方程式が存在する。|α|= 1を示してください。」という問題です。

複素数平面でαがどういう値か求めるにはどうすればよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

justinianiさんの回答は問題の解釈を誤ってますけど、オイラーの公式を使う方法を示していらっしゃるのがヒントになります。

すなわち
α=a(cosθ+isinθ)=a e^(iθ) (a,θは実数)
とおいて考えればよい。すると
α^n = (a^n)(cos nθ+isin nθ)=(a^n) e^(inθ)
となります。(iは虚数単位i=√(-1)です)

 じゃあ、この公式を使わない方法でしこしこ地道にやってみましょう。方針はjustinianiさんの仰ってる通りです。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

●虚数αの1乗~5乗が相異なるのだから、α≠0です。(虚数とは実数でない複素数のことですね。)

●βは0でない複素数(任意)とし、複素数zを変数とする関数gを
g(z)=β(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
とするとき、5次方程式
g(z)=0
は、問題に出てくる5次方程式そのものです。5次方程式の5つの解が指定されているんだから、方程式はこれしかないんです。
 この方程式が実数係数であるとは、どういうことでしょう?展開して、
g(z)= C[5](z^5)-C[4](z^4)+C[3](z^3)-C[2](z^2)+C[1](z^1)-C[0]
と書くことにしましょう。
C[5]=β
なので、C[5]=βは0でない実数です。
g(z)=0
の両辺をβでわり算して、A[n] = C[n]/βと書くことにすれば、
f(z) = g(z)/β = (z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
  = (z^5)-A[4](z^4)+A[3](z^3)-A[2](z^2)+A[1](z^1)-A[0]
とするとき
f(z)=0
A[n]が実数なら、C[n]も必ず実数になります。だから「αの1乗~5乗を解とする実数係数5次方程式が存在する」とは、「A[0]~A[4]が全部実数である」ことと同じ意味です。

●A[0]~A[4]の中身を具体的に見ると
A[4]=α+α^2+α^3+α^4+α^5
A[3]=(α^2+α^4)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=(α^2+α^4)A[4]
A[2]=(α^5+α^7)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=(α^3)(α^2+α^4)A[4]
A[1]=(α^9)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=((α^3)^3)A[4]
A[0]=((α^3)^5)
ですね。そして、A[0]~A[4]が全部実数である。
この条件は、
(α+α^2+α^3+α^4+α^5)
(α^2+α^4)
(α^3)
((α^3)^3)
((α^3)^5)
が全部実数であることと等価です。さらに整理すれば、
(α+α^5)
(α^2+α^4)
(α^3)
が全部実数であることと等価である。

●ここで実数
r=(α^3)
を考えると、α≠0よりr≠0。だからαはrの立方根のうちの一つでなくちゃいけません。rの立方根は3つあり、1つが実数a、他の2つが虚数で、a(-1+i√3)/2とa(-1-i√3)/2です。だから
[1] α=a
[2] α=a(-1+i√3)/2
[3] α=a(-1-i√3)/2
の3通りしかありえない訳です。
 [1]の場合には(α+α^5)、(α^2+α^4)、(α^3)が全部実数であるのは自明です。aは幾らであっても構わないので|α|=1とは限りません。むしろ|α|=1だとα=α^3=α^5になっちゃって題意を満たしません。だから[1]の場合には「|α|>0かつ|α|≠1」となり、問題の命題「|α|=1」は否定されます。
 でも、問題はαが虚数の場合について問うているのでした。よって、話は[2][3]の場合だけに絞られます。

●では[2]α=a(-1+i√3)/2 の場合を調べます。
α^2 =(a^2)(-1+i√3)^2/4=(a^2)(-1-i√3)/2
α^3 =(a^3)
α^4 =(α^2)^2=(a^4)(-1+i√3)/2
α^5 =(α^2)r=(α^2)(a^3)=(a^5)(-1-i√3)/2
となります。
 さて、
(α^2+α^4)=-(a^2+a^4)/2+i(-a^2+a^4)(√3/2)
これが実数になるためには(aは実数ですから)、
(-a^2+a^4)=0
が必要十分です。そして、これを満たす実数はa=1かa=-1しかありません。
 また
(α+α^5) = -(a+a^5)/2+i(a-a^5)(√3/2)
これが実数になるためには(aは実数ですから)、
(a-a^5)=0
すなわち
a^4=1
が必要十分です。そして、これを満たす実数はa=1かa=-1しかありません。
 さらに、「αの1乗~5乗が相異なる」という条件が満たされているかどうか、チェックしましょう。もしa=1だとするとα=α^4になってしまってダメ。a=-1だとすると
α= -(-1+i√3)/2
α^2 = (-1-i√3)/2
α^3 =-1
α^4 =(-1+i√3)/2
α^5 =-(-1-i√3)/2
となって、これはめでたく全部ばらばらです。
 従って、「(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数であるためには、α=-(-1+i√3)/2であれば十分」であることが分かりました。

●[3] α=a(-1-i√3)/2である場合も全く同様にして、「(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数であるためには、α=-(-1-i√3)/2であれば十分」であることが示されます。
 そして、「αが虚数で、(α^3)が実数である」ためには、[2]か[3]のどちらかであることが必要でした。

●以上をまとめると、
「αが虚数で、(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数である」⇔ 「α=-(-1-i√3)/2もしくはα=-(-1+i√3)/2である。」
 ここで-(-1-i√3)/2と-(-1+i√3)/2は互いに逆数の関係にあります。同じ意味ですが、
(-(-1-i√3)/2)^5 = -(-1+i√3)/2
(-(-1+i√3)/2)^5 = -(-1-i√3)/2
ですから、[2][3]の場合分けをしたけれど、実は集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては同じものを指しているんですね。

●あとは
 「α=-(-1-i√3)/2もしくはα=-(-1+i√3)/2である」ならば|α|=1である
を証明すれば良いわけです。これは簡単。
これで話は一応おしまいなんですが、ここで終わったら詰まらないです。

●|α|=1ということは、αの1乗~5乗は全て、複素平面上の単位円の円周上に乗っている訳です。そして
α^6=((α^3)^2)=1
ですね。グラフを描いて{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}が円周を6等分していることを確認してみてください。つまり{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}は「1の6乗根」の集合です。
 それから是非、f(z)の具体的な形を求めてみてください。A[0]~A[4]を具体的に求めるにはa=-1より
(α^3)=(a^3)=-1
(α^2+α^4)=-(a^2+a^4)/2=-1
(α+α^5) = -(a+a^5)/2=1
を用いれば良いので簡単です。
 一方{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}を解とする6次方程式は
z^6 -1=0
ですね。この6つの解のうち、z=1という解を除いた5次方程式は
(z^6 -1)/(z-1)=0
と表すことができます。
f(z) = (z^6 -1)/(z-1)  (つまり(z-1)f(z) = z^6-1)
を確認してみて下さい。

●そういう訳で、この事情が分かっている人にはとても見通しの良い問題だったんです。
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この回答へのお礼

オイラーさんの公式は知らないので他の解説で説明してくださって良かったです。ゆっくりと読んでみます。

お礼日時:2001/09/06 21:12

>計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5


>になりました。
ここからだと a,b を求めにくそうです。
次の計算を参考にしてみて下さい。

 (a+bi)^6 = 1
⇔(a^6 - b^6 - 15a^4b^2 + 15a^2b^4) + (6a^5b + 6ab^5 - 20a^3b^3)i = 1
⇔(a^2 - b^2)(a^4 + b^4 - 14a^2b^2) + 2ab(3a^4 + 3b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔(2a^2 - 1){(a^2+b^2)^2 - 16a^2(1-a^2)} + 2ab{3(a^2+b^2)^2 -16a^2(1-a^2)}i
= 1
⇔(2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) + 2ab(16a^4 - 16a^2 + 3)i = 1

したがって
 (2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) = 1   …(1)
 ab(4a^2 - 1)(4a^2 - 3) = 0   …(2)
の2式を同時に満たす a を求めます。

(2)式より
 ・ a=0 のとき (1)式の左辺=-1となり解なし。
 ・ b=0 のとき a^2+b^2=1 から a=±1 となりこれは(1)式を満たすのでOK。
 ・ 4a^2-1=0 のとき a=±1/2 は(1)式を満たすのでOK。
 ・ 4a^2-3=0 のとき a=±√3/2 は(1)式を満たさないので解なし。
以上より
 a=±1,±1/2
が求まったので、それぞれの a に対する b を a^2+b^2=1 から求めると
 (a,b) = (1,0) (1/2,√3/2) (-1/2,√3/2) (-1,0) (-1/2,-√3/2) (1/2,-√3/2)
の6つの解が出てきます。
これらの点は、複素平面の単位円上で点(1,0)から反時計回りに 60°ごとに現われて
います。
1の6乗根を求める方程式を解いたわけですから当然の結果なわけです。

このうち、(±1,0) はαが実数になるので不適。
また、(-1/2,±√3/2) は1の3乗根になっていてα^4=αとなるので不適。
結局、問題の条件を満たすαは
 α=(1±i√3)/2
の2つとなります。

今、αがどちらであっても集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5} は変わりません。
上で求めた6点のうち (1,0) を除くものになっているはずなので、
確認してみてください。
このとき、5次方程式は
 k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0 (kは定数)
にαの値を代入すれば出てきます。
ここでは少し工夫して、今は回答 No5 の (1)α^5=α* の場合ですから
 α^5=α*
 α^4=(α*)^2  (α^5=α* の両辺にα*をかけて得る)
 α^3=(α*)^3=-1
となります。これを使うと
 k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2)(x+1) = 0
⇔k{x^2-(α+α*)x+1}{x^2-(α^2+α*^2)x+1}(x+1) = 0  (ここでαを代入)
⇔k(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x+1) = 0
⇔k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0
が出ます。


(a+bi)^5=1 の場合も
 (a+bi)^5=1
⇔a(a^4 + 5b^4 - 10a^2b^2) + b(5a^4 + b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔a(16a^4 - 20a^2 + 5) + b(16a^4 - 12a^2 + 1)i = 1
のように変形し、同様のことをすれば
 a=1,(√5-1)/4,-(√5+1)/4
の3つが求まり、
 (a,b) = (1,0) ( (√5-1)/4,±{√(10+2√5)}/4 )
-(√5+1)/4,±{√(10-2√5)}/4 )
の5つがαの候補になります。このうち、(1,0) だけが消えますね。

また、この場合の5次方程式は
 α^5=1
 α^4=α*
 α^3=(α*)^2
などから、
 k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-1)(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2) = 0
⇔k(x^5-1) = 0
と出ます。
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文系の方ということですので、もう少しアドバイスをしたいと思います。


No5 の回答を次のようにすれば、複素数の極表示を使わずに出来ます。


すると、今の場合αの複素共役α*も解なので
α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。
ここで、n が整数で
 α* = α^n
が成り立つとき α = a+ib とすると
 a-ib = (a+ib)^n
となるので両辺の絶対値をとると
 |a-ib| = |a+ib|^n
⇔√(a^2+b^2) = (√(a^2+b^2) )^n
⇔(√(a^2+b^2) )^(n-1)
すなわち |α| = |a+ib| = √(a^2+b^2) = 1であることがわかります。
以下、|α|=1として話を進めます。

(1)α^5=α*のとき
  α^6 = αα^5 = αα* = 1
 したがって、αは1の6乗根ですから
  (a+ib)^6 = 1
 を解くことになります。少し大変ですが a^2+b^2 = 1 などをうまく使ってくださ
い。
 余分な解も出てきますが、条件を満たすものは
  α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2
 になるはずです。
 このとき、5次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

(2)α^4=α*のとき
  α^5 = αα^4 = αα* = 1
 したがって、αは1の5乗根ですから
  (a+ib)^5 = 1
 を解くことになります。こちらのほうが解くのが難しいかもしれませんが頑張って
みてください。
  α = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4
 の4通りが出てきます。
 このとき、5次方程式は k(x^5-1) = 0 となります。

(3)α^3=α*のとき
  α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α であるから不適。

(4)α^2=α*のとき
  α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α であるから不適。


以上です。

(1)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正六角形の頂点になっています(頂点(1,0)を除いた5
つ)。
また、(2)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正五角形の5つの頂点になっています。
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この回答へのお礼

お返事していただいてどうもありがとうございます。
きっちりと理解しておきたかったので、とても助かります。

>余分な解も出てきますが、条件を満たすものは
  α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2
 になるはずです。
 このとき、5次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5
になりました。それと、すいません、α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2 は何を表しているのかわかりません。
それと、
>このとき、5次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。  

もよくわからないのですが、どのように考えればよろしいのでしょうか。何度もお聞きしてしまってすいません。

お礼日時:2001/09/11 02:58

stomachman さんには珍しく基本的なところで見落としがあるようです。


A[4]=α+α^2+α^3+α^4+α^5 = 0 の場合がありますね。
この場合、(α^2+α^4) 、α^3 が実数である必要がありません。

少し計算が大変なので、No3 の回答の方針でやってみます。
まず、実数係数の多項式 f(z) の解の一つが a+bi であるなら
その複素共役 a-bi も解であることは簡単に確認できます。

すると、今の場合αの複素共役α*も解なので
α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。
ここで、n が整数のとき
 α* = α^n
が成り立つとき α = re^(iθ) とすると
 re^(-iθ) = r^n e^(inθ)
となるので両辺の絶対値をとると r=1 すなわち |α|=1であることがわかります。
以下、|α|=1として話を進めます。

(1)α^5=α*のとき
  α^6 = αα^5 = αα* = 1
 したがって、αは1の6乗根ですから
  α = e^(i2nπ/6) = e^(inπ/3)
 です。αの偏角θを -π<θ≦π とすると n=-2,-1,0,1,2,3 ですが
 n=±1 の二つが重解を持たないという条件を満たすものです。
 stomachman さんの回答にあるように
  α = e^(±iπ/3) = (1±√3)/2
 です。
 どちらを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わらないことは
 すでに stomachman さんが書かれているとおりです。
 このとき、5次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

(2)α^4=α*のとき
  α^5 = αα^4 = αα* = 1
 したがって、αは1の5乗根ですから
  α = e^(i2nπ/5)
 です。こんどは n=-2,-1,0,1,2 のうち n=0 だけが不適です。
  α = e^(±2π/5) , e^(±4π/5)
    = cos(2π/5)±sin(2π/5) , cos(4π/5))±sin(4π/5)
    = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4
 の4通りです。
 (1)と同じくどれを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わりません。
 このとき、5次方程式は x^5-1 = 0 となります。

(3)α^3=α*のとき
  α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α であるから不適。

(4)α^2=α*のとき
  α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α であるから不適。



>虚数αが実数になることなんてあるのでしょうか。
αが虚数という前提があるなら
No3 での「αが実数だと解はすべて実数になり」という部分は気にしないで下さい。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございました。僕は文系数学を学習しているので、eはわからないのですが、方針はつかめましたので、実際いに手を動かしてみます。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/07 23:38

αが実数だと解はすべて実数になり|α|≠1の場合があり困りますので、


αの虚数部分が0でないとします。
すると、5次方程式が実数係数であることから複素共役α*も解になります。

このα*がα^2,α^3,α^4,α^5のどれかと等しいということや
重解を持たないということから考えてみて下さい。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。虚数αが実数になることなんてあるのでしょうか。

お礼日時:2001/09/06 21:09

虚数aというのは複素数αの間違い?



実数係数の5次方程式が相異なる複素数α,α^2,α^3,α^4,α^5を解に持つ
からといって|α|=1になるとは思えないのですが、なにか条件が
抜けていないでしょうか?
(実数も複素数に含まれますから、|α|が1でない例がいくらでも作れます。)

それと、ご質問は問題自体を解きたいのか、問題が解けたとしてαの具体的な形を
求めたいのか、どちらなのでしょう?
補足をお願いします。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。質問は問題が解けたとしてαの具体的な形を伺いたいです。それと、虚数aと複素数αは一緒のことですよね。解答は手元にあって理解できたのですが、背景的なことを聞きたくて質問しました。問題文を見ましたが抜けているところはありませんでした。

補足日時:2001/09/06 20:55
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 |α|=1は、与条件という理解でいいんですよね?


 α=cosθ+isinθとおき、
(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5)=0
の左辺に代入し、展開してxの式として整理後、係数部分の虚部=0とおいて得られたθの方程式を解く、という方法はいかがでしょう。
 実際に解いていませんので、自信がありませんが。ごめんなさい。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。α=cosθ+isinθとおくと膨大になると思うのですが、αのまま展開してxの式として整理後、係数部分の虚部=0とおいて得られたαの方程式を解くというのにします。

お礼日時:2001/09/06 20:55

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Aベストアンサー

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Qα_1,α_2,…,α_n が非零の時,e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must be zero.(Why?) Get a contradiction from this.]

と言うe^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です。
(もし,c_iの一つでも非零なら全c_iも非零である事を使ってよいようです)
n-1回微分して得られる一次連立方程式の係数行列の行列式は

とりあえずn-1回微分してみましたらその係数行列の行列式が0でなければならない事から
矛盾を引き出せと述べてあります。

係数行列Aは
A:=
(c_1,c_2,…,c_n)
(c_1α_1,c_2α_2,…,c_2α_n)
(c_1α_1^2,c_2α_2^2,…,c_nα_n^2)
:
(c_1α_1^(n-1),c_2α_2^(n-1),…,c_nα_n^(n-1))

と書けると思います。

そして,その一次連立方程式は
At^(e^α_1t,e^α_2t,…,e^α_nt)=0
と書けます。
(但しtは転置行列を表す)

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そしてdet(A)=0ならどうして矛盾なのでしょうか?

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[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must ...続きを読む

Aベストアンサー

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
すぐ計算できる.
そうすると「αi」が全部違うから0ではない
つまり,係数が全部0になり一次独立.

ヒントの通りにするなら
without loss of generality,we may assume that none of them is 0.
の意味を理解して,やっぱりファンデルモンドで矛盾

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
す...続きを読む

Q虚数の意味と意義

おそらく、高校の時の数学で、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。
最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。

一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。
二、虚数の出現の背景。
三、虚数の意味するところ。
四、虚数はなぜ必要か。
五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

 位相空間上の方向・・・というか・・

この話、図を描かないと丁寧な説明ができない
のですが・・・

 オイラーの式というのをどこかで、探して
みて下さい。虚数が三角関数を通じて
回転と結びついていることが分かると
思います。

 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは
メビウスの輪というのを探して下さい。

 メビウスの帯びの上に1本の針を置くこと
を想像してみてください。帯びの方向に
ころころ転がしていくのです。
メビウスの帯は途中でねじれているので、
帯を1周すると、針の方向が上向きから
下向きになっていることが分かると
思います。

 これが回転すると1からー1に符号が
変わるオイラーの式の意味するところで、
オイラーの式で、角度を90°とし
2回かけるとー1になることと
関連しています。

 すいません、言葉でうまく説明できません。

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか...続きを読む

Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-...続きを読む

Q虚数は存在するか?

虚数は存在するのでしょうか?しないのでしょうか?

私の個人的なイメージでは
「2乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか?

虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか?

Aベストアンサー

かなり昔に得た知識なので詳細は定かではありませんが、
虚数は「存在する」ようです。
もっとも、「極小の世界で考えると」と言う注釈がつきます。

専攻が数学ではないので、「虚数 波動関数」などで調べてみてください。

Q虚数単位について

虚数単位について

なんで虚数単位の絶対値は1と言えるんでしょうか?
√(-1)の絶対値はどういうふうに計算したら1なんでしょうか?

Aベストアンサー

複素数 z の「絶対値」の定義は、
z と (z の共役複素数) の積の √ です。

虚数単位 i の共役複素数は -i ですから、
i の絶対値は、√1 になります。

Q異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=

異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=0のとき、A、B、C、Dを頂点とする四角形が長方形になることの証明を、どなたかお願いします。

Aベストアンサー

(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
(4) x = (α+β) とすると、αとxがなす角θはxとβがなす角と同じ。
(5) (γ+δ) = -xでなくちゃならない。で、γとxがなす角ξはxとδがなす角と同じ。
あとはθ=ξを示せばよかろ。

Q二乗して虚数になる数

虚数の計算をしていて疑問に思ったのですが、二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか?

存在しないのだとしたら、何故存在しないのですか?

Aベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
 たぶん、X^2=ー1 から i
が出てくるのに
x^2=i から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか?  と言う質問でしょう。
答えは、 複素数が代数閉体だから です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。 ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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