k ・nCk = n ・n-1Ck-1 という公式が何故こうなるのかわかりません。日本語でわかりやすく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

左辺=n人からk人の「グループ」を作り、さらにグループの「リーダー」を決めるときの場合の数。



右辺=n人から「リーダー」を一人選び、残りのn-1人からk-1人を選び、合計k人の「グループ」をつくるときの場合の数。

以上
    • good
    • 1
この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/07 23:46

私も、それほど意味があるとは思いませんが…。



 k・nCk = nCk・k

ですから、左辺は、
n個の中から、k個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ
ですよね。
結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

これを、手順を変えて、
n個の中から、まず特別な要素を1個選び、
残った(n-1)個の中から、(k-1)個の要素からなる集合を選ぶ、
ようにしたのが、
右辺です。

こんなんでよろしいでしょうか?

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

すいませんyacob様への質問と重なるですが、右辺がよくわかりません。

それと、これは「Σ(k=0→n)k・nCk」を求めよという問題にちなんで出てきたものです。

補足日時:2001/09/06 21:31
    • good
    • 0

言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。

説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。
たとえば、A,B,C,Dの4つについて、3つを選ぶ組み合わせでは、普通は、ABCはBCA、BAC、CAB、...と同じで、これらは1個としかカウントできませんが、この場合は、特定席を一番初めとして、ABCは、BCA、BAC、CAB、…は別物とするわけです。ただし、特定席のA以外は順序に無関係ですから、ABC、ACBは1つとなります。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、これを考えると、

1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

2・次に、別にこれを考えますと、n個のうちから、k個を選ぶ単純な組み合わせは、nCk の組数がありますが、その1組ごとについて、特定席にk個のうちの1つを入れる組み合わせは、k個ありますから、総数は、k*nCk であります。

上記の1、2は、答えを得る筋道が違っただけですから、同じであります。つまり、与式が証明されたわけです。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

すいません。ここがわかりません。特等席を1個選ぶには誰を特等席にするかのn通りしかないように思われるのですが、n-1Ck-1 はなにを計算しているのかよくわかりません。

補足日時:2001/09/06 21:26
    • good
    • 0

日本語でということですが・・・



私が考えるには、
この公式じたいにはあまり意味がなく(意味が無くもないかもしれませんが・・・)
nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。
つまり
nCk = n /k・n-1Ck-1  は分かりますでしょうか?
nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1
  =n/k・(n-1)・・・(n-k+1)/(k-1)・・・・2・1
  =n /k・n-1Ck-1  
あとは、両辺にKを掛けただけです。
私の結論は、
無理やりこじつけて、k ・nCk = n ・n-1Ck-1 に意味をつけられるかもしれませんが、ただ変形しただけだと思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。ただの変形だったのですね。これなら自分でもすぐ作れそうです。ありがとうございます。

お礼日時:2001/09/06 21:20

左辺のnCkは公式に当てはめて(教科書に載っています)


nCk
=n・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)}/k!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k!
ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!=k・(k-1)!と出来ます。
よって左辺は
=k・n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k・(k-1)!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

右辺のn-1Ck-1を同様に公式に当てはめると
n-1Ck-1 
=(n-1)・{(n-1)-1}・・・・[(n-1)-{(k-1)-1}]/(k-1)!
=(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!
となります。
よって右辺は
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

左辺と右辺は同じなので等号が成立するわけです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。式の変形もわからなかったので、解説していだだけてとても参考になりました。

お礼日時:2001/09/06 21:18

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

QnCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck証明

nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck
の証明問題なのですが、やり方が全くわかりません。
nCk
(n-1)C(k-1)
(n-1)Ck
を全部書きだして、通分して足しても何もなりませんでした……

すいませんが、ご存じの方がいらっしゃいましたらご教授ください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

二項定理 (1+x)^n = (nC0) + (nC1)x + (nC2)x^2 + … + (nCn)x^n

を n について漸化しましょう。(1+x)^n = (1+x)・(1+x)^(n-1) より、

(nC0) + (nC1)x + … + (nCn)x^n = (1+x){ ((n-1)C0) + ((n-1)C1)x + … + ((n-1)C(n-1))x^(n-1) }.

両辺の x^k 項を比較すれば、(nCk)x^k = 1・((n-1)Ck)x^k + x・((n-1)C(k-1))x^(k-1).

すなわち nCk = (n-1)Ck + (n-1)C(k-1).



趣味的な話ですが、私は、nCk = n!/{k!(n-k)!} を定義とするよりも、

二項定理のほうを nCk の定義として、逆に n!/{k!(n-k)!} は導出する

立場のほうが好きだなあ。「二項係数」って、そういう名前でしょ。

QZ会の問題、Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}

Z会の問題で
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}
というのがありました。
数学的帰納法を用いれば証明できますが、右辺の答えを知らない段階で、右辺を導く方法があれば教えてください。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)

Σ[k=1,n]k^3*(-1)^(k-1)

Σ[k=1,n]k^p*(-1)^(k-1)
などの公式をご存知の方は教えてください。

Aベストアンサー

一応、質問の回答もちょっとだけ。
等比級数の公式を導出したときみたいに、ずらして両辺を引き算する、
ていうので求まります。

あるいは、微積を使う方法もあります。(考え方は簡単な気がしますが、実際の計算は上の方法に比べて大変だったりしますが)
初項x、公比xの等比数列の和の公式より
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
です。
これを、両辺xで微分すれば、
Σ[k=1,n]k*x^(k-1) = …
て形になります。で、x=-1 を代入すれば、
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)
が求まります。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)
の場合は、
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
から、
(1)両辺をxで微分して、(2)両辺にxをかけて、(3)もう一回両辺をxで微分する
と、
Σ[k=1,n]k^2*x^(k-1) = …
の形になります。で、x=-1を代入すればいいです。

Aベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も1つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

QnΣk=1 k(k+1)=1/3n(n-1)(n+2)

が理解出来ません。
k(k+1)=1/3(Tk+1-Tk)までは理解出来ますが…

Σkは 1/2n(n+1)です。
Σk(k+1)= 1/2n(n+1){1/2n(n+2)}では無いのですか?
1/2は…一体どこへ???

Aベストアンサー

k(k+1)*(k+2)-(k-1)*k(k+1)=3k(k+1)
---------------------------------
1*2*3-0*1*2=3*1*2
2*3*4-1*2*3=3*2*3
・・・・・・・・
n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n(n+1)
----------------------------------
n(n+1)(n+2)-0*1*2=Σ[k=1,n]3k(k+1)


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報