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k ・nCk = n ・n-1Ck-1 という公式が何故こうなるのかわかりません。日本語でわかりやすく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

左辺=n人からk人の「グループ」を作り、さらにグループの「リーダー」を決めるときの場合の数。



右辺=n人から「リーダー」を一人選び、残りのn-1人からk-1人を選び、合計k人の「グループ」をつくるときの場合の数。

以上
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この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/07 23:46

私も、それほど意味があるとは思いませんが…。



 k・nCk = nCk・k

ですから、左辺は、
n個の中から、k個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ
ですよね。
結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

これを、手順を変えて、
n個の中から、まず特別な要素を1個選び、
残った(n-1)個の中から、(k-1)個の要素からなる集合を選ぶ、
ようにしたのが、
右辺です。

こんなんでよろしいでしょうか?

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

すいませんyacob様への質問と重なるですが、右辺がよくわかりません。

それと、これは「Σ(k=0→n)k・nCk」を求めよという問題にちなんで出てきたものです。

補足日時:2001/09/06 21:31
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言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。

説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。
たとえば、A,B,C,Dの4つについて、3つを選ぶ組み合わせでは、普通は、ABCはBCA、BAC、CAB、...と同じで、これらは1個としかカウントできませんが、この場合は、特定席を一番初めとして、ABCは、BCA、BAC、CAB、…は別物とするわけです。ただし、特定席のA以外は順序に無関係ですから、ABC、ACBは1つとなります。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、これを考えると、

1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

2・次に、別にこれを考えますと、n個のうちから、k個を選ぶ単純な組み合わせは、nCk の組数がありますが、その1組ごとについて、特定席にk個のうちの1つを入れる組み合わせは、k個ありますから、総数は、k*nCk であります。

上記の1、2は、答えを得る筋道が違っただけですから、同じであります。つまり、与式が証明されたわけです。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

すいません。ここがわかりません。特等席を1個選ぶには誰を特等席にするかのn通りしかないように思われるのですが、n-1Ck-1 はなにを計算しているのかよくわかりません。

補足日時:2001/09/06 21:26
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日本語でということですが・・・



私が考えるには、
この公式じたいにはあまり意味がなく(意味が無くもないかもしれませんが・・・)
nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。
つまり
nCk = n /k・n-1Ck-1  は分かりますでしょうか?
nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1
  =n/k・(n-1)・・・(n-k+1)/(k-1)・・・・2・1
  =n /k・n-1Ck-1  
あとは、両辺にKを掛けただけです。
私の結論は、
無理やりこじつけて、k ・nCk = n ・n-1Ck-1 に意味をつけられるかもしれませんが、ただ変形しただけだと思います。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。ただの変形だったのですね。これなら自分でもすぐ作れそうです。ありがとうございます。

お礼日時:2001/09/06 21:20

左辺のnCkは公式に当てはめて(教科書に載っています)


nCk
=n・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)}/k!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k!
ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!=k・(k-1)!と出来ます。
よって左辺は
=k・n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k・(k-1)!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

右辺のn-1Ck-1を同様に公式に当てはめると
n-1Ck-1 
=(n-1)・{(n-1)-1}・・・・[(n-1)-{(k-1)-1}]/(k-1)!
=(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!
となります。
よって右辺は
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

左辺と右辺は同じなので等号が成立するわけです。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。式の変形もわからなかったので、解説していだだけてとても参考になりました。

お礼日時:2001/09/06 21:18

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