k ・nCk = n ・n-1Ck-1 という公式が何故こうなるのかわかりません。日本語でわかりやすく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

左辺=n人からk人の「グループ」を作り、さらにグループの「リーダー」を決めるときの場合の数。



右辺=n人から「リーダー」を一人選び、残りのn-1人からk-1人を選び、合計k人の「グループ」をつくるときの場合の数。

以上
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この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/07 23:46

私も、それほど意味があるとは思いませんが…。



 k・nCk = nCk・k

ですから、左辺は、
n個の中から、k個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ
ですよね。
結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

これを、手順を変えて、
n個の中から、まず特別な要素を1個選び、
残った(n-1)個の中から、(k-1)個の要素からなる集合を選ぶ、
ようにしたのが、
右辺です。

こんなんでよろしいでしょうか?

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

すいませんyacob様への質問と重なるですが、右辺がよくわかりません。

それと、これは「Σ(k=0→n)k・nCk」を求めよという問題にちなんで出てきたものです。

補足日時:2001/09/06 21:31
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言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。

説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。
たとえば、A,B,C,Dの4つについて、3つを選ぶ組み合わせでは、普通は、ABCはBCA、BAC、CAB、...と同じで、これらは1個としかカウントできませんが、この場合は、特定席を一番初めとして、ABCは、BCA、BAC、CAB、…は別物とするわけです。ただし、特定席のA以外は順序に無関係ですから、ABC、ACBは1つとなります。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、これを考えると、

1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

2・次に、別にこれを考えますと、n個のうちから、k個を選ぶ単純な組み合わせは、nCk の組数がありますが、その1組ごとについて、特定席にk個のうちの1つを入れる組み合わせは、k個ありますから、総数は、k*nCk であります。

上記の1、2は、答えを得る筋道が違っただけですから、同じであります。つまり、与式が証明されたわけです。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

>1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

すいません。ここがわかりません。特等席を1個選ぶには誰を特等席にするかのn通りしかないように思われるのですが、n-1Ck-1 はなにを計算しているのかよくわかりません。

補足日時:2001/09/06 21:26
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日本語でということですが・・・



私が考えるには、
この公式じたいにはあまり意味がなく(意味が無くもないかもしれませんが・・・)
nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。
つまり
nCk = n /k・n-1Ck-1  は分かりますでしょうか?
nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1
  =n/k・(n-1)・・・(n-k+1)/(k-1)・・・・2・1
  =n /k・n-1Ck-1  
あとは、両辺にKを掛けただけです。
私の結論は、
無理やりこじつけて、k ・nCk = n ・n-1Ck-1 に意味をつけられるかもしれませんが、ただ変形しただけだと思います。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。ただの変形だったのですね。これなら自分でもすぐ作れそうです。ありがとうございます。

お礼日時:2001/09/06 21:20

左辺のnCkは公式に当てはめて(教科書に載っています)


nCk
=n・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)}/k!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k!
ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!=k・(k-1)!と出来ます。
よって左辺は
=k・n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k・(k-1)!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

右辺のn-1Ck-1を同様に公式に当てはめると
n-1Ck-1 
=(n-1)・{(n-1)-1}・・・・[(n-1)-{(k-1)-1}]/(k-1)!
=(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!
となります。
よって右辺は
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

左辺と右辺は同じなので等号が成立するわけです。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。式の変形もわからなかったので、解説していだだけてとても参考になりました。

お礼日時:2001/09/06 21:18

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これを、両辺xで微分すれば、
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Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)
が求まります。

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例えば、
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パターン2としては、問1~問11までが全てBというパターン、
パターン3としては、問1~問11までが全てCというパターン、
パターン4としては、問1~問10まではAで問11だけがBというパターン



など、3の11乗パターン存在すると思ってます。
こうしたパターンの一覧表を一気に作りたいのですが、どのようにすればよろしいでしょうか。

ご教示頂ければ幸いです。宜しくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

下記のプログラムをVB6で作ってみました。(あまりきれいではないですけど)pen4-2.8G メモリ512MBで90秒ほどで修了しました。 エクセルのことはよくわかりませんがそんなに難しくはないと思います。

Private Sub Command1_Click()
Dim str_out As String
s_time = Now()
str_out = ""
For i1 = 1 To 3
For i2 = 1 To 3
For i3 = 1 To 3
For i4 = 1 To 3
For i5 = 1 To 3
For i6 = 1 To 3
For i7 = 1 To 3
For i8 = 1 To 3
For i9 = 1 To 3
For i10 = 1 To 3
For i11 = 1 To 3
str_out = i11 & i10 & i9 & i8 & i7 & i6 & i5 & i4 & i3 & i2 & i1
Debug.Print str_out
str_out = ""
Next i11
Next i10
Next i9
Next i8
Next i7
Next i6
Next i5
Next i4
Next i3
Next i2
Next i1
Debug.Print s_time
Debug.Print Now
End Sub

下記のプログラムをVB6で作ってみました。(あまりきれいではないですけど)pen4-2.8G メモリ512MBで90秒ほどで修了しました。 エクセルのことはよくわかりませんがそんなに難しくはないと思います。

Private Sub Command1_Click()
Dim str_out As String
s_time = Now()
str_out = ""
For i1 = 1 To 3
For i2 = 1 To 3
For i3 = 1 To 3
For i4 = 1 To 3
For i5 = 1 To 3
For i6 = 1 To 3
For i7 = 1 To 3
For i8 = 1 To 3
For i9 = 1 To 3
For i10 = 1 To 3
For i11 = 1 To 3
str_out = i11 &...続きを読む

Aベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も1つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P...続きを読む

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再帰呼び出しのアルゴリズムは「自分自身を呼び出す」わけですから、普通の上から下へ
読んでいくフローとはひと味違って、考えにくいところがあります(実は私もしばらくや
ってなかったので今回少し手こずりました)。

各行の意味を書きます。


Const nStr As String = "あいうえおかきく" '←n個の文字列
Const m As Integer = 3 '←取り出す個数
Dim n As Integer '←ご質問文のn
Dim rStr As String '←m個取り出した文字列を結合したもの
Dim mRow As Integer '←エクセル表へ書き出す際の行番号
Dim Nest As Integer '←再帰呼び出しの深さ=rStrの何文字目に取り出すのか
'-----------------------
Sub combi()
n = Len(nStr) 'nStrの文字列長をnに代入
If m > n Then Exit Sub 'nよりmが大きければ終了
rStr = String(m, " ") 'rStrにm個の空白を代入
Cells.ClearContents '書き出す表をクリア
mRow = 0 '書き出す行番号0クリア
Nest = 0 '再帰呼び出し深さ0クリア
combiPr (0) 'サブルーチン combiPr を引数0で呼び出し
End Sub
'-----------------------
Sub combiPr(n1) 'サブルーチン開始 引数はその時点での開始位置(nStrの何文字目まで処理したか)
Dim mCol As Integer '←エクセル表へ書き出す際の列番号
For nn = n1 + 1 To n - m + Nest + 1 'nnを開始位置の次の文字から始めて残りの文字数の手前までFor~Nextを繰り返す
Nest = Nest + 1 '再帰呼び出しを1カウントアップ
Mid(rStr, Nest, 1) = Mid(nStr, nn, 1) 'rStrのNest番目にnStrのnn番目を代入
If Nest = m Then 'rStrに取り出したのがm文字目なら
mRow = mRow + 1 'エクセル表の次の行へ
For mCol = 1 To m 'rStrの1文字目からm文字目まで書き出す。
Cells(mRow, mCol).Value = Mid(rStr, mCol, 1)
Next
Else 'そうでなければ、つまり現在の開始位置(=nStrの何文字目まで処理したか)がm個まで達してなければ
Call combiPr(nn) '現在の到達位置(nStrの何文字目まで処理したか)にnnをセットしてcombiPrを呼び出す(再帰呼び出し)
End If
Nest = Nest - 1'再帰呼び出しを1後退
Next
End Sub


手順は原始的なものです。
あ~く まで書かれたカードを8枚ならべて3枚抜き出すことを考えればお解りになるで
しょうか。

あ を一枚抜き出し、
い を抜き出し2枚目に置きます。
う を抜き出し、3枚目とします。←これを く まで繰り返します。

次に、い を戻して う を新たな2枚目とします。
え を抜き出し、3枚目とします。←これを く まで繰り返します。

の繰り返し・・・・

を行っているわけです。

ポイントは、1枚目を抜き出すのは か までだという点です。
き まで抜き出したら(く までしかないので)3枚目のカードがなくなります。
同様に2枚目は き までしか抜き出してはいけません。
これが「For nn = n1 + 1 To n - m + Nest + 1」の「n - m + Nest + 1」の部分の意味です。

テキストベースのみの説明なので伝えにくいのですが、不明な点があったら補足説明しますの
で、またおたずねください。

再帰呼び出しのアルゴリズムは「自分自身を呼び出す」わけですから、普通の上から下へ
読んでいくフローとはひと味違って、考えにくいところがあります(実は私もしばらくや
ってなかったので今回少し手こずりました)。

各行の意味を書きます。


Const nStr As String = "あいうえおかきく" '←n個の文字列
Const m As Integer = 3 '←取り出す個数
Dim n As Integer '←ご質問文のn
Dim rStr As String '←m個取り出した文字列を結合したもの
Dim mRow As Integer '←エクセル表へ書き出す際の行番号
...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q数字の組み合わせパターンの取得について

a組 1,2,3,4,5,6,7,8,9
b組 1,2,3,4,5,6,7,8,9
c組 1,2,3,4,5,6,7,8,9

上記のような各組から、それぞれ1つずつ番号を選択し
出来上がる組み合わせパターン全てを取得したいのですが
どうしてもうまく取得できません。
各組の番号の重複はしないように取得したいので
9*8*7=154の組み合わせ全てを取得したいです。
(計算合ってますかね・・・)

例○:1,2,3 2,1,3 ・・・
例×:1,2,1 2,4,4 ・・・

質問も初めてなので、書き方など不明な点や不手際があれば
あわせてご回答いただけると感謝です。

Aベストアンサー

失礼しました。そう例示がありましたね
であれば、504通りになるのかな?

<?
$x=1;
for($i=1;$i<=9;$i++){
for($j=1;$j<=9;$j++){
if($i==$j) continue;
for($k=1;$k<=9;$k++){
if($j==$k or $i==$k) continue;
print $x++.":".$i.",".$j.",".$k."<br>\n";
}
}
}
?>

QnΣk=1 k(k+1)=1/3n(n-1)(n+2)

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k(k+1)=1/3(Tk+1-Tk)までは理解出来ますが…

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1/2は…一体どこへ???

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k(k+1)*(k+2)-(k-1)*k(k+1)=3k(k+1)
---------------------------------
1*2*3-0*1*2=3*1*2
2*3*4-1*2*3=3*2*3
・・・・・・・・
n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n(n+1)
----------------------------------
n(n+1)(n+2)-0*1*2=Σ[k=1,n]3k(k+1)


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