Maxとsup a∈Aについて、 aがAの最大値ならばaはAの上限にもなる、 すなわち、最大値ならば

Maxとsup

a∈Aについて、
aがAの最大値ならばaはAの上限にもなる、
すなわち、最大値ならば上限の定義も満たすということですよね？
何故上限の定義のうちの一つである

◉(aがsupAとした時、)
x<aならば、x<x' となるx'が存在する

は最大値の定義に入らないのですか？
これは最大値の定義の一つである a∈A に矛盾してるのですか…？

質問者からの補足コメント

• Tacosan様、言葉足らずと理解不足で大変申し訳ございません、、！
  最初の解釈でおそらく合っていると思います。
  写真見えますでしょうか、、先程教材やネットなどを見て手書きで書いたものです。
  見づらいかもしれないので一応下に書かせていただきます。
  
  ◉上限の定義
  α‬がsupA
  ⇒①x<α‬ならばx<aとなるa∈Aが存在する。
  (∴∀ε>0, ∃x∈A, α‬ｰε<x<α‬)
  ②任意のx∈Aに対して、x≦α‬が成り立つ。
  
  ◉最大値の定義
  α‬がMaxA
  ⇒①α‬∈A
  ② 任意のx∈Aに対して、x≦α‬が成り立つ。
  
  (このように①、②となっていたため定義の一つ…のような言い方をしてしまいました。申し訳ございません、、)
  
  
  どの参考書や記事にも 最大値の定義:α‬∈A と載っていたのですがこれは間違っているのでしょうか、、？

  
    補足日時：2022/08/25 03:11

• そしてたびたびごめんなさい、、
  定義を理解するために、この定理(MaxA⇒supA)を証明してみました。(画像)
  (これは理解出来ました。)
  
  ここで腑に落ちない事が新たに生まれてしまったのですが、
  先程の補足に載せた
  上限の定義①から、最大値の定義①(a∈A)が示せない理由がしっくりきません、
  明らかだと言われてしまったら確かにそうだと思うそれまでなのですが、少しモヤモヤしてしまうというかイマイチ説明できないというか、、そんな感じです。。
  
  (Maxの定義①からsupの定義①は示せたけど、supの定義①からMaxの定義①は示せないよっていうのが自分の中ではっきりすれば、上限と最大値の定義についてしっくりくるなと思ったので考えてみました)

  
    補足日時：2022/08/25 03:22

• あっっっ！！！！！理解出来ました！！！！！！！
  申し訳ございません、定義、証明について今やっと理解出来た気がします！！！！！！！！！！

    補足日時：2022/08/25 03:45

• 今一度見返してみたら最大値の定義も上限の定義も両方、
  ①かつ②を満たす と書かれていました、抜けばかりでほんとすみません(><)
  
  なので、上限も最大値と同じように考えて
  ①だけでは成り立たず、並外れた大きな値も取ってしまうけど、②が加わることにより、それがなくなるのかな？と思ったのですがどうでしようか、、？(写真にイメージ書きました、自分なりに考えてみたのですがデタラメかもしれません。。)
  
  連続性、教材にも記載されてました、、！きちんと理解出来てないので今一度しっかり読ませていただきます、ほんとにありがとうございます(´；ω；｀)

  
    補足日時：2022/08/25 04:51

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/25 06:14

ああそうか, 上限の方でも①だけだとダメなんだ. 例えば「1 からはじまり √2 に収束する単調増加な列」と「2 からはじまり 2√2 に収束する単調増加な列」をまぜると, ①の条件を満たす α として 2√2 がとれる (これは上限) けど √2 もとれる (こっちはもちろん上限ではない) んだ. もちろん②だけではダメ (「上限」としては) なので両方の条件が必要なんだ....

と気付いてからちょっと考えたんだけど, 今の順だと①の条件の意味がわかりにくいので, 逆に②→①の順にした方が理解しやすいんじゃないかな. つまり②で「A の任意の要素より小さくない」ことをいって, その上で①の「その近傍に A の要素がある」つまり「それより小さいと A の要素でもっと大きいのがあるからダメ」という制限を付ける. こっちの方が説明しやすいんじゃないかなぁ.

連続性が暗黙に出てくるってことは, 微積か解析かな? 順序集合の話でも上限やら最大値やらが出てくるから, 余裕があるならそっちも覗くといいかも.

この回答へのお礼

時間が空いてしまい申し訳ございません！！
ですね、Tacosan様の仰る通り、ただ条件を見るだけでなく、②→①のようにちゃんとどの条件から見ていくべきか考えて理解するようにします…！

はい、微積学と解析学です！
沢山質問に答えて下さり本当にありがとうございました(´；ω；｀)！！！

お礼日時：2022/09/02 14:08

No.6 回答者： 右左 回答日時： 2022/08/26 10:24

補足までて、完全に理解されてます。

違いがわかると面白いでしょう！な～んだとなります。

この回答へのお礼

嬉しいです(´；ω；｀)ありがとうございます…！
はい！とても楽しいし面白いです！！

お礼日時：2022/09/02 14:09

No.4 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/08/25 05:43

そういう事です。

この回答へのお礼

よかった！！！ありがとうございます！！！！

お礼日時：2022/09/02 14:04

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/25 04:32

あ, 議論の前提として「どのような集合に対してどのような順序を設定しているのか」を明確にしておかないといけないのか....

ねんのため確認.

まず最大値については両方を満たしてはじめて「最大値」になる. つまり 2つの条件からなる 1つの「最大値の定義」なのだ. だから「最大値の定義の一つ」は言葉がおかしい. 「最大値の定義における条件の 1つ」ないし「最大値の条件の 1つ」とすべき.

一方上限についていうと, ②は「上限」にならない. 例えば #2 の A に対しては 0 が上限だけど, 「任意の x∈A に対して x≦α」というだけなら 0 以上のあらゆる α が満たしてしまう. ①は, 最初に書いた「議論の前提」をきちんとしておかないと「そもそも条件が無意味」ってことがある. たぶん「連続性」あたりが必要なのかな? でないと, 例えば R 上「単調増加で √2 に収束する有理数列」は存在するけど, その全く同じ「有理数列」を「有理数の集合」と思って Q 上で考えると (√2 が Q に属さないので) 「上限」が存在しないってことになる.

この回答へのお礼

最大値について
あああ、なるほど…！たしかに 「条件の」1つとするべきでした、、ありがとうございます(´；ω；｀)！

上限について 補足に続かせていただきます(><)

お礼日時：2022/08/25 04:45

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 03:56

A={-1/n|nは自然数}={-1,-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,-1/6,-1/7,-1/8,-1/9,…}

とすると
supA=0
MaxAは存在しない

この回答へのお礼

存在命題の意味合いだから反例を示すだけで良かったんですね…！！考えすぎてしまいました、ありがとうございます！

お礼日時：2022/08/25 04:43

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/25 02:57

「上限の定義のうちの一つ」とか「最大値の定義の一つ」とかって, どういう意味で使ってる? ふつうには「上限の定義のうちの一つ」というのは

「上限」の定義には複数の (同値な) ものがあって, そのうちのいずれか「一つ」
ということと解釈するんだけど, それでいい?

でそう解釈するなら, 文章そのものが明らかにおかしいんだ. 例えば「a∈A」はどう考えても「最大値の定義」ではないのだから, 「最大値の定義の一つ」とはいえない. 「上限の定義」にしても, 「x<aならば、x<x' となるx'が存在する」では x や x' がどのような集合の要素なのかわからない上に「x' として a をとれば必ず成り立つ」のだから「定義」たりえない.

最初の解釈が間違っているというのならあなたの文章がおかしいので, どういうことをいっているのかきちんと書いてほしい. 少なくとも「最大値」や「上限」の定義を完全に書いてもらえないと疑問には答えようがない. まあ妄想するなら「同値 (あるいはもっと強い) 条件があるのでわざわざ明記しない」とかかな, だけどさ.

この回答へのお礼

沢山の回答本当にありがとうございました！
ベストアンサーにさせていただきます！

お礼日時：2022/09/02 14:11