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数学の複素数の証明問題です。

(1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを説明せよ。
(2)複素数全体の集合に順序を導入することはできるか。できるならその方法を示し、できないならそれを証明せよ。

どこから手を付ければよいかが分かりません。どなたか教えてください。

A 回答 (2件)

(2)たとえば複素数の絶対値 |z|をなんとか工夫して順序≧を構成しようとしても、


  a≧bかつb≧a ならば a=b
が言えないのでうまくいかない。これが言えるためには、複素数a, bが持つ情報を一部分でも捨ててはならない、ということです。
 じゃあどうするか。z = x + i yと表せば、複素数全体というのは、実数のペア (x,y)全体と同じ。そこで(ペアノ曲線のように)実数×実数 と 実数の1:1対応を構成すればいい。
 たとえば、まず実数tを
   f(t) = (arctan(t)/π) + (1/2)
などを使って実数
  0 < f(t) < 1
に1:1対応させる。f(t)を二進数で表現したものの小数点以下k桁目をb(t,k)とする。で、実数r(x,y)を、k=1,2,...について
  b(r(x,y), 2k-1) = b(x,k)
  b(r(x,y), 2k) = b(y,k)
を満たす実数とする。これで実数のペア(x,y)と実数r(x,y) とが1:1対応しているのは明らか。なので普通の実数の大小関係を使って複素数同士の間に全順序が決められる。

さて、(1)の方は

> 実数と同様な

 この設問は、「実数の大小関係において成り立ついくつかの定理をすでに具体的に示してある」という文脈の上でしか意味をなさないでしょう。(もし「複素数 a, bがたまたま実数だったら、実数の大小関係と一致する」というだけの話なら、(2)はこれを満たすわけだが、それどころか単に「複素数の実部の大小関係」とするだけでも足りる。いや、幾ら何でもそんな話ではないだろう。)もちろん、「同様な」というのには全順序であることが含意されるだろうが、それは(2)で構成済み。問題はそれ以上の「同様な」が何を意味するかであり、たとえば四則演算とどこまで「同様な」絡み方をするか。題意がはっきりしないな。
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ちょっと問題文がよくないけど、(1)と(2)を見比べると


(1)の文中にある「実数と同様な」というのは
「複素数の部分集合である実数同士の比較については
普通の大小関係になるような」という意図かと思う。
その意味に解釈すると...

(1)
定義できたとする。その上で、
0 < i と仮定すると、両辺に i を掛けて 0 < i² = -1.
0 > i と仮定しても、両辺に i を掛けて 0 < i² = -1.
いづれにしろ矛盾が導かれる。
もちろん、 0 = i ではない。
以上から、 0 と i の大小を定義することはできない。

(2)
いろいろあるが、一例として...
a+bi < x+yi (a,b,x,yは実数) を
⇔ a < x または ( a = x かつ b < y )
で定義する。

(1)にせよ(2)にせよ、これらを議論するためには
大小関係とは何か? を定義しないと行えない。
こちらを参照↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F …
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