式1.7と1.15を用いて1.16と1.17のα、βを導きたいのですが、分からないので教えて欲しいで

式1.7と1.15を用いて1.16と1.17のα、βを導きたいのですが、分からないので教えて欲しいです。よろしくお願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/14 15:55

γ=α+jβ なので、(1.7)式は

　α²-β²+j2αβ=(R+jwL)(G+jwC)=RG-w²LC+jw(LG+RC)
→ α²-β²=RG-w²LC , 2αβ=w(LG+RC)
βを消すと
　α²-w²(LG+RC)²/4α²=RG-w²LC
→ α⁴-(RG-w²LC)α²-w²(LG+RC)²/4=0
→ α²=[(RG-w²LC)±√{(RG-w²LC)²+w²(LG+RC)²}]/2
ここで、α²≧0 だから「-」は除外できるから
　　　=[(RG-w²LC)+√{(R²G²+w⁴L²C²-2RGw²LC+w²(L²G²+R²C²+2LGRC)}]/2
　　　=[(RG-w²LC)+√{(R²G²+w⁴L²C²+w²(L²G²+R²C²)}]/2
　　　=[(RG-w²LC)+√{(R²+w²L²)(G²+w²C²)²}]/2
　　　=[ ( √{(R²+w²L²)(G²+w²C²)²} ) - (w²LC-RG) ]/2

したがって、
　α=√{ (1/2)[ ( √{(R²+w²L²)(G²+w²C²)²} ) - (w²LC-RG) ] }・・・①
ここでを除外したのは、伝送路の解を
　exp(j(k-γx))
としていると思うので、α<0 だと発散するため。

対称だからβも同様にして解ける(と思う)ので、①と同様な式となる。
なお、β>0 を取るのは進行波とするため。