直線:kx－y－6k－1＝0と 円:x^2＋y^2－8|x|－8y＋7＝0が共有点を持つようなkの値

直線:kx－y－6k－1＝0と
円:x^2＋y^2－8|x|－8y＋7＝0が共有点を持つようなkの値の範囲はk≦0またはなにか？
また、4個の共有点をもつようなkの範囲はなにか？ わかる方がいましたら教えてください！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/05 16:13

＞直線:kx－y－6k－1＝0

これは
　y = kx - 6k - 1
　　= k(x - 6) - 1　　　　①
なので
　X = x - 6
とおけば
　y = kX - 1
という直線。
（y + 1 = k(x - 6) としてもよい）

つまり、(6, -1) を通り、傾きが k の直線。


＞円:x^2＋y^2－8|x|－8y＋7＝0

これは、x の正負で場合分けして絶対値を外せば

A > 0 のとき |A| = A
A < 0 のとき |A| = -A (>0)
A = 0 のとき |A| = A = -A (=0)

だから

(a) x ≧ 0 のとき
　x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0
→　(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 5^2　　　　②
なので (4, 4) を中心とする半径 5 の円の x≧0 の部分。

(b) x ≧ 0 のとき
　x^2 + y^2 + 8x - 8y + 7 = 0
→　(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 5^2　　　　③
なので (-4, 4) を中心とする半径 5 の円の x<0 の部分。

あとは、グラフを描いてみれば解けるでしょう。
グラフで見れば、

(1) 共有点を持つのは、k≦0 なら必ず共有点を持つので、あとは①と②が接するところまで。

やってみれば、②に①を代入して
　(x - 4)^2 + [k(x - 6) - 1 - 4]^2 = 5^2
→　x^2 - 8x + 16 + [kx - 6k - 5]^2 = 25
→　x^2 - 8x + k^2･x^2 - 2(6k - 5)kx + (6k + 5)^2 = 9
→　(k^2 + 1)x^2 - (12k + 10k + 8)kx + 36k^2 + 65k + 25 = 9
→　(k^2 + 1)x^2 - 2(6k + 5k + 4)kx + 36k^2 + 65k + 16 = 0

この x が実数解をもつ条件は
　D/4 = (6k + 5k + 4)^2 - (k^2 + 1)(36k^2 + 65k + 16)
　　　= k(21k - 20) ≧ 0

よって、これが成立するのは
　k ≦ 0 または 20/21 ≦ k

(2) 共有点を4点もつのは、①が③の右（上）側と接するところから y 軸との交点 (0, 7) を通るところまで、および①が③の左（下）側と接するところから y 軸との交点 (0, 1) を通るところまでかな。

①が③の右（上）側と接するところは、①を③に代入してみると (0, 7) が接点ということになり、こちら側には共有点を4点もつ範囲はないようです。

①が③の左（下）側と接するときには k=0、
(0, 1) を通るときには k = -1/3 なので、
共有点を4点もつ範囲は
　-1/3 < k < 0

こんな感じでしょうか。
計算違いがあるかもしれないので、自分でもきちんと解いてみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/11/06 03:59

No.1 回答者： AっKI 回答日時： 2022/11/05 15:44

答えまで書くと勉強にならないのでヒントだけ。

図をしっかり描いて、その図に直線を描いて
考えることです。

その図が正確に描けるかが最初のポイントです。
絶対値記号がありますから
ｘ≧0とｘ＜０で場合分けします。

一方の直線ですが式が変な形をしているときは
『定点（x,yによらず通る点）があるのでは』
と考えましょう。kの恒等式にしてみてください。

図を描いたら2つの円と直線が通る定点の関係をよく見れば
ｋ≦0が条件になることは分かりますね。もう一つの条件
どうなれば共有点を持つのかをしっかり考えてください。

2つめの問題は
まずどうやったら4つの共有点が持てるのかを考えることです。
そして４つが3つに変わるところはどこかを考えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/11/05 16:25