No.3
- 回答日時:
z=x+yi
f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
f'(z)=lim_{Δz→0}{f(z+Δz)-f(z)}/Δz
=lim_{Δx→0}{f(z+Δx)-f(z)}/Δx
=lim_{Δx→0}{u(x+Δx,y)+iv(x+Δx,y)-u(x,y)-iv(x,y)}/Δx
=lim_{Δx→0}{u(x+Δx,y)-u(x,y)}/Δx+i{v(x+Δx,y)-v(x,y)}/Δx
=∂u/∂x+i∂v/∂x
=lim_{Δy→0}{f(z+iΔy)-f(z)}/(iΔy)
=lim_{Δy→0}{u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)-u(x,y)-iv(x,y)}/(iΔy)
=lim_{Δy→0}-i{u(x,y+Δy)-u(x,y)}/Δy+{v(x,y+Δy)-v(x,y)}/Δy
=-i∂u/∂y+∂v/∂y
=∂v/∂y-i∂u/∂y
∂u/∂x+i∂v/∂x=∂v/∂y-i∂u/∂y
だから
∂u/∂x=∂v/∂y
∂v/∂x=-∂u/∂y
だから
∂u/∂x-∂v/∂y=0
∂v/∂x+∂u/∂y=0
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