x, y, z ≧ 0, x+y+z ≦ 1 のとき

３ｘ＾２－４ｘ＋５ｙ＾２－２ｙ＋ｚ＾２－１ の最大値最小値を
簡単に求める方法は、どのようなものがありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/01 23:29

f(x,y,z)=3x²-4x+5y²-2y+z²-1

　　　　=3(x-2/3)²+5(y-1/5)²+z²-38/15・・・・①

したがって、最小値は
　f(2/3, 1/5, 0)=-38/15・・・・・②
と簡単にわかる。このx,y,zは
　x,y,z≧0 , x+y+z≦1・・・・・③
も満たしている。

最大値であるが、①の形から、②のx,y,zを離れるごとに単調増加
とわかるから、最大値は③の領域の3角形の境界(各辺)にあるとわ
かる。

まず、x=0 → y+z=1 の境界を調べると
　f(0,y,1-y)=6y(y-2/3)
となり、y=0～1の間の最大値は端の内 y=1の
　f(0,1,0)=2
とわかる。

つぎに、y=0 → x+z=1 の境界を調べると
　f(x,0,1-x)=2x(2x-3)
となり、x=0～1の間の最大値は端の内 x=0 の
　f(0,0,1)=f(1,0,0)=0
とわかる。

最後に、z=0 → x+y=1 の境界を調べると
　f(x,1-x,0)=8{(x-3/4)²-5/16}
となり、x=0～1の間の最大値は端の内 x=0 の
　f(0,1,0)=2
とわかる。

以上のように、３角形の３辺の境界上の
　f(0,1,0)=2
で最大値をとる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもすごいと思いました。
どうして早くにわかりの？と思いました。

お礼日時：2022/12/02 10:18