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No.3
- 回答日時:
∬[0≦x,0≦y]{ 1/(1 + x^2 + y^2)^4 }dxdy ;x=r cosθ, y=r sinθ と置いて
= ∬[0≦r,0≦θ≦π/2]{ 1/(1 + x^2 + y^2)^4 } |det(∂(x,y)/∂(r,θ)| drdθ
= ∬[0≦r,0≦θ≦π/2]{ 1/(1 + r^2)^4 } |r| drdθ
= ∫[0≦θ≦π/2] ∫[0≦θ<∞]{ r/(1 + r^2)^4 }dr dθ
= { ∫[0,π/2] dθ }{ ∫[0,∞]{ r/(1 + r^2)^4 }dr } ;r^2=u と置いて
= { π/2 - 0 }{ ∫[0,∞]{ (1/2)/(1 + u)^4 }du }
= (π/2)(1/2){ lim[u→∞](-1/3)/(1 + u)^3 - (-1/3)/(1 + 0)^3 }
= π/12
だよねえ。
∫[0,π/2]∫[0,∞] 1/{(1 + r^2)^4} drdθ は
= π/12 にはならないねえ...
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