円の面積：πr^2の計算。なぜこうなるかがわからないです

いつもお世話になります。初歩的な質問で申し訳ありませんが、ひとつどうしても分からないので教えてください。

今読んでいる本で、円の面積を計算する方法が書いてある箇所があるのですが、なぜそうなるかがわかりません。
半径rの円：x^2+y^2=r^2があり、第1象限に点P（x,y)がとってあります。
円の面積Sは、S=4∫(0からr）√(r^2-x^2)dxとなる。ここまでは良いのですがわからないのは以下からです。
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ここでx=rcosθとおくと、dx=rsinθdθです。
したがって、x=0のときθ=0、x=rのときθ=π/2です。
さらに、r^2-x^2=r^2-r^2*(sinθ)^2=r^2*(cosθ)^2
よって、√（r^2-x^2)=rcosθ
（その後積分の計算で
S=4r^2・∫(0からπ/2）(cosθ)^2　dθ　とされ、
最終的にはπr^2が導かれています。）
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質問１：1行目でなぜ「dx=rsinθ」なのでしょうか。私は「dx=-rsinθdθ」かと思いました。

質問２：2行目ではなぜ「x=0のときθ=0」なのでしょうか。私は、「x=0のときθ=π/2で、x=rのときθ=0」かと思いました。

質問３：4行目ではなぜ、「√(r^2-x^2)=rcosθ」になるのでしょうか。私は「右辺＝rsinθ」だと思いました。

質問４：積分の式もなぜこうなるのかわかりません。冒頭でdx=rsinθと言ってるのに、ここではdx=rcosθを代入してますしなぜですか？

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私が自分なりに解いた方法では、S=4r^2・∫(0からπ/2) (sinθ)^2 dθとなり、πr^2は導けたのですが、上で書きました本の内容の意味がわからず気持ち悪い状態です。
本は青バックスの「πの不思議」p.49～50です。

私の勘違いかも知れかもしれませんがすっきりしないので、お詳しい方ご教示ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2007/01/15 04:18

> 私は「dx=-rsinθdθ」かと思いました。

> 私は、「x=0のときθ=π/2で、x=rのときθ=0」かと思いました。
> 私は「右辺＝rsinθ」だと思いました。
すべて質問者さんの仰るとおりです．
本が間違っています．

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。
＞本が間違っています．
いや、このご回答は全く想像しませんでした。本の裏書を見ても、初版は89年、私が持ってるのは第19刷（03年）ですし、これだけ長い間、私のようなしろうとはともかく、詳しい方が誰も気づかなかったことはないと思ったのです。

ここに質問してよかったです。というかもっと早く質問してれば、悩んだ時間がかなり短縮されたはずでした・・・。

ともかくすっきりしました。ありがとうございます！

お礼日時：2007/01/15 23:54

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2007/01/15 09:09

１．これは貴方が正しいです。

２．これも貴方が正しいです。
３．これも貴方が正しいです。
４．これも貴方が正しいです。

結局その本の回答の冒頭での置換式を間違えたのでしょう。これを
x=rsinθとおけばすべての疑問は氷解する筈です。本に書いてあることは常に正しいとは限らないのです。これなどはいわば単純ミスなのですが、初めて学ぶ人にとっては堪ったものではないですよね。でも残念ながらこの種の間違いは枚挙に暇がないくらい多いのが現状です。人間は至るところで間違えるのです(^_-)

　しかし質問内容から見て貴方は実に三角関数と微積分をよく理解されていることが分りますよ(^_^)　前途有望ですよ(^_^)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。想像だにしませんでしたが本の誤りでしたか・・・。
お褒めの言葉まで頂き恐縮です。少々照れくさいのですが、私は学生ではなく、大卒後10ウン年の社会人です。しかも文系で三角関数・微積分など全く関係無しの職種で。

ふとしたことから学生時代に一番好きだった科目の数学に関する本を手に取りました。当時も数学は面白いと思ってはいましたが、なにぶん受験対策ですから深い意味も考えず公式や解法の丸暗記。不思議なものでsin(α±β）やcos(α±β）の公式は今でも覚えていましたが意味は分かっていませんでした。先日、この証明（直角三角形の斜辺にもう一つ直角三角形を乗っけた図形による説明）を見たとき、ほぅと納得してしまいました。

でもいくつになっても学ぶことは楽しいですね。私にとっては数学はとても知的好奇心をかきたててくれます。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/16 00:05

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/15 20:02

あなたが正しく、よく理解されていることは下の方が言っておられるとおりです。

そこで、蛇足ながら、より簡単な円の面積を求める方法を紹介したいと思います。
極座標系を使う方法です。

半径Ｒ～Ｒ＋ｄＲと角度θ～θ＋ｄθで囲まれる微小部分を考えますと、面積はＲ・dＲdθになります。
そこで、０≦Ｒ≦ｒ、０≦θ≦２πの区間で積分すると
Ｓ＝∫[0,r]∫[0,2π]R dR dθ
　＝∫[0,r]2πR dR
　＝πr^2
と求められます。

直交座標系を極座標系に変換して解くぐらいなら、最初から極座標系で解いたほうが楽ですのにね。
（青バックスの人は重積分を避けたかったのかな？）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
恥ずかしながら、ご回答いただいた内容については、私は理解できるレベルには無いのですが、数学って深いなぁと感じさせられます。
件の本も、どちらかと言えば初心者向けかと思いますので、重積分とか極座標というものの説明はありませんでした。

他の方の回答にも書きましたが、好奇心で数学の本を読んでいるようなレベルです。でもいろんなことを知るのは楽しいことだと思いますので精進したいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/16 00:14