極座標変換を用いる３重積分なんですが

極座標変換を用いる３重積分なんですが

D:0＜ｘ≦ｙ　ｚ≧0　

∬∫D　e^(-x^2-y^2-z^2)/x^2+y^2+z^2 dxdydz

これを極座標表示をすると
　
∬∫E　e^(-r^2)sinθ　drdθdφ

となったんですが　積分範囲Eがわかりません・・。
どなたかご教示お願いします・・。

No.2 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/08/22 10:45

>D:0＜ｘ≦ｙ　ｚ≧0　

x > 0 より -π/2 < φ < π/2
y >= x より π/4 <= φ <= 5π/4
これらから
φ の範囲は　π/4 ～ π/2

z >= 0 より
θ の範囲は 0 ～ π/2

r には何も条件がないので、その範囲は　0 ～ ∞

この回答へのお礼

0＜ｘ≦yの部分は範囲を分けて考えるんですね！　よく分かりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2010/08/22 11:02

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/22 10:27

>∫∫∫[E]　e^(-r^2)sinθ　drdθdφ=Iとおく。

I=∫[π/4,π/2]dφ∫[0,∞]e^(-r^2)dr∫[0,π/2] sinθdθ
=(π/4)*((√π)/2)*1=(π√π)/8
となります。

積分が積分の積に分離できますので簡単に積分できますね。

この回答へのお礼

積に分離できるのはわかってたんですが、積分範囲がわかりませんでした・・
回答ありがとうございました！

お礼日時：2010/08/22 11:03