ごめんなさい。初等幾何とおもうけど

球面上の直交座標 (x, y, z) と平面上の (X, Y) を用いると、立体射影は、次の式で与えられる。
(X, Y) = (x/1-z, y/1-z)

を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/09 20:35

x/1-zではなくx/(1-z)とかきましょう

y/1-zではなくy/(1-z)とかきましょう

球面{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2=1,(x,y,z)≠(0,0,1)}から
平面{(X,Y)∈R^2}への写像は

(X,Y)=(x/(1-z),y/(1-z))

平面{(X,Y)∈R^2}から
球面{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2=1,(x,y,z)≠(0,0,1)}への写像は

(x,y,z)=(2X/(1+X^2+Y^2),2Y/(1+X^2+Y^2),(X^2+Y^2-1)/(1+X^2+Y^2))

x=2X/(1+X^2+Y^2)
y=2Y/(1+X^2+Y^2)
z=(X^2+Y^2-1)/(1+X^2+Y^2)
とすると

x^2+y^2+z^2
={4X^2+4Y^2+(X^2+Y^2-1)^2}/(1+X^2+Y^2)^2
=1

だから
(x,y,z)は球面x^2+y^2+z^2=1上の点

1-z
=1-(X^2+Y^2-1)/(1+X^2+Y^2)
=2/(1+X^2+Y^2)

1/(1-z)=(1+X^2+Y^2)/2

x/(1-z)
={2X/(1+X^2+Y^2)}(1+X^2+Y^2)/2
=X

y/(1-z)
={2Y/(1+X^2+Y^2)}(1+X^2+Y^2)/2
=Y

∴
(X,Y)=(x/(1-z),y/(1-z))

この回答へのお礼

ありがとうございます。ごめんなさい。そのとおりと思いました。

お礼日時：2022/12/09 20:38

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/09 16:41

「立体射影」という言葉がないわけじゃないんだけどね＞#2. cf.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86 …

ところで「～を教えてください」って書いてあるけど実際のところなにを聞いている?

この回答へのお礼

ありがとうございます。はい、そのとおりですけど、私は平面上のｘ座標が球の式を使ってx/1-zと表せるのが、わかりません。

お礼日時：2022/12/09 16:54

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/09 13:52

「立体射影」ってのは何者ぞ？

数学用語ではなさげ。
(X, Y) = (x/1-z, y/1-z) なら、正射影(線型幾何)でも射影機何でも無さそうだし。
ヤマカンだけど、それはもしかして光学か図学の用語だったりしないか？
出典は？

この回答へのお礼

ありがとうございます。立体射影は球を平面にとう影する、写像とかんがえることができるため、リーマン面についてのもので、読みました。

お礼日時：2022/12/09 16:34

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/12/09 04:20

本題からは外れますが「初等幾何とおもうけど」とあるので少し。

初等幾何(学)とは概ねユークリッド幾何学と同義のようですが、ユークリッド幾何学には座標と言う考え方はありません。なので質問文の問題は初等幾何ではなくて解析幾何に当たると思います。あるいは「射影」と言う用語が出て来ているので射影幾何かもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。はい、ごめんなさい。解析幾何や射影幾何 と思うけど

お礼日時：2022/12/09 04:23