数学の質問です。 (1)はなぜ、上に凸の場合を考えなくてよいのでしょうか？ また、今更にはなるのです

数学の質問です。
(1)はなぜ、上に凸の場合を考えなくてよいのでしょうか？
また、今更にはなるのですが、すべての実数xに対して不等式が成り立つのに、実数解を持たないって矛盾しているように感じてしまいます。なぜでしょうか？

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/02 06:04

すべての実数xに対して,不等式

ax^2+(a-1)x+a-1>0
が成り立つとする

f(x)=ax^2+(a-1)x+a-1
とおくと
y=f(x)が
上に凸の放物線の場合
a<0
だから
f(-1)=a(-1)^2+(a-1)(-1)+a-1=a<0
x=-1の場合
f(-1)<0
となるからf(x)>0が成り立たない

すべての実数xに対して不等式
ax^2+(a-1)x+a-1>0
が成り立つから

ax^2+(a-1)x+a-1=0
となる
xは存在しないから

方程式
ax^2+(a-1)x+a-1=0
は
実数解を持たない

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/01 17:02

> なぜでしょうか？

「実数解」とおっしゃるけれども、それは一体何の解なのか、という認識が曖昧だからでしょう。

ある実数aについてf(a)>0 が成り立つとき、
(i) aはf(x)>0という不等式の解です。
(ii) aはf(x)=0という等式（方程式）の解ではありません。

ある実数aについてf(a)=0 が成り立つとき、
(i) aはf(x)=0という等式（方程式）の解です。
(ii) aはf(x)>0という不等式の解ではありません。

すべての実数xについてf(x)>0 が成り立つとき、
(i) すべての実数xはどれもf(x)>0という不等式の解です。
(ii) すべての実数xはどれもf(x)=0という等式（方程式）の解ではありません。

すべての実数xについてf(x)=0 が成り立つとき、
(i) すべての実数xはどれもf(x)=0という等式（方程式）の解です。
(ii) すべての実数xはどれもf(x)>0という不等式の解ではありません。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/01 13:44

「すべての実数xに対して不等式が成り立つのに、実数解を持たないって矛盾しているように感じてしまいます」のところ, 「すべての実数x

に対して『どのような』不等式が成り立つ」ことと「『どのような方程式 (不等式) が』実数解を持たない」こととに矛盾を感じる?

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/01 13:41

問題文を読めば 分かるでしょ。

上に凸ならば 絶対に 全ての x の値で 不等式が 正 には成りませんね。
つまり ax² の a は、必ず正の値で、下に凸な放物線でなければなりません。