写真の数学の質問です。 一つの方程式が2つの直線を表すということは、()()＝0の状態に持っていけば

写真の数学の質問です。
一つの方程式が2つの直線を表すということは、()()＝0の状態に持っていけば良いということでしょうか？
もしそうなら、判別式の=0は上記が理由でしょうか？

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2023/01/04 13:09

90度も傾いた画像など見る気もおこらないから一般論だが、

x-y平面上の直線を表す方程式はxが定数、yが定数、xとyが二元一次方程式である、のいずれかであるので、二次方程式に用いる判別式は出番が無い。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/04 14:15

x, y の双二次方程式が xy平面の二直線を表す

⇔ (x, y の一次式)(x, y の一次式)=0 の形に分解できる
⇔ もとの方程式が x の方程式として y の一次式であるような 2解を持つ
⇔ もとの方程式の x についての判別式が y の平方式である
⇒ もとの方程式の x についての判別式
　　　　　　　の y についての判別式が 0 である

No.3 回答者： nasdaq000 回答日時： 2023/01/04 14:25

こんにちは。

少し長くなりますが、参考になれば。
【準備】
与えられた二次方程式を因数分解すると( A )( B )=0という形になります。
A=0、B=0としてAとBをそれぞれxについて解くと、yの一次式になることがわかります（x=○y+△の形）...①。
【解法】
次に与式を解の公式で解くとx=(-b±√D1)/2aとなりますが、①からxはyの一次式になるので、根号内のD1は完全平方（ )^2の形になる必要があります。
D1が完全平方式になるためにはD1=0とした二次方程式が重解を持つ必要があります。よって、このD1=0とした二次方程式の判別式を新たにD2とすると
　D2=0（重解を持つ）
とし、ここから定数aを求めていきます。定数aが求まれば【準備】で述べた因数分解でA=0,B=0から２つの一次式（直線）が得られます。
【まとめ】　
x,yの２次方程式
　ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 ...①
が２直線を表わすように係数を定めるには、①を xの二次方程式としたときの判別式 D1 において
　D1=0
この二次方程式D1=0について、更にその判別式 D2を取って
　D2=0
となるように係数の値を定めればよい。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/04 14:52

「一つの方程式が2つの直線を表す」には、x, y の2次式であることです。

それを因数分解して (ax+by+c)(dx+ey+f)=0
と云う形にならなければなりません。
そうなる為には、初めの式を x の2次式として その判別式が 0 にならないと
上記の様な 因数分解が出来ない と云う事です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/05 09:40

x^2+2xy-3y^2+8x+a=0

x^2+2(y+4)x-3y^2+a=0
↓両辺に(y+4)^2+3y^2-aを加えると
x^2+2(y+4)x+(y+4)^2=(y+4)^2+3y^2-a
(x+y+4)^2=(y+4)^2+3y^2-a
(x+y+4)^2=y^2+8y+16+3y^2-a
(x+y+4)^2=4y^2+8y+16-a
(x+y+4)^2=4(y^2+2y)+16-a
(x+y+4)^2=4(y+1)^2-4+16-a
(x+y+4)^2=(2y+2)^2+12-a
↓両辺に-(2y+2)を加えると
(x+y+4)^2-(2y+2)^2=12-a
(x+y+4+2y+2)(x+y+4-2y-2)=12-a
(x+3y+6)(x-y+2)=12-a
↓a=12とすれば
(x+3y+6)(x-y+2)=0
∴
a=12